一、案例來源與某書籍，數據集樣式，采用動態線性回歸的方式擬合時間序列模型：
查找gfr與自變量pe、ww2、pill的關系，R代碼如下：
rm(list = ls())
setwd("D:\\download\\系數\\金融時間序列分析")
library(foreign);library(dynlm);library(car);library(lmtest)
fertil3 <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/fertil3.dta")
tsdata <- ts(fertil3,start = 1913) # create time series start at 1913
# 建立動態回歸（dynlm函數），包含滯后項(maybe x or y,this is x： L（）)，此時包含1階和2階滯后
res <- dynlm(gfr~pe+L(pe) + L(pe,2) + ww2 + pill, data = tsdata) # create Linear regression of model with lags
coeftest(res)
# F test H0 : all pe coefficients are=0
linearHypothesis(res, matchCoefs(res,"pe"))
pe取2階滯后，pe coefficients are=0，對因變量的影響pe相關性均不強，再進行F檢驗得到如下效果。
二、去趨勢項（針對非平穩性時間序列數據，如存在偽回歸問題）
解決方式：
- 自變量中加人趨勢項（trend函數），將數據集從時間維度上做一個趨勢，減輕趨勢性對回歸的影響
數據集：
library(foreign);library(dynlm); library(stargazer)
hseinv <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/hseinv.dta")
tsdata <- ts(hseinv, start = 1947)
res1 <- dynlm(log(invpc) ~ log(price), data = tsdata)
res2 <- dynlm(log(invpc) ~ log(price) + trend(tsdata), data = tsdata)
stargazer(res1,res2,type = "text")
檢驗結果如下：
結果看出趨勢項對回歸的影響是顯著的，有趨勢項時，自變量不顯著，不含趨勢項時，自變量是顯著的。說明存在偽回歸問題，存在趨勢項同時影響X和Y，但X和Y之間不存在相關性。
三、去季節性影響（season()）
library(foreign); library(dynlm); library(lmtest)
barium <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/barium.dta")
tsdata <- ts(barium, start= c(1978,2), frequency = 12) # 月度數據，monthly time series begining in Feb. 1978
res <- dynlm(log(chnimp) ~ log(chempi) +log(gas) + log(rtwex) + befile6 + affile6 + afdec6 + season(tsdata), data = tsdata)
coeftest(res)
季度數據進行平均（哪些季度影響顯著）：
四、非平穩性序列--隨機游走（游走結果不確定） X
1.形式（其中誤差項服從獨立同分布，xt-1前系數等於1）：
隨機游走模型（d=1，p=q=0），ARIMA(p,d,q)為ARIMA(0,1,0)即為隨機游走模型。
set.seed(1234)
plot(c(0,50),c(0,0),type = 'l', lwd=2, ylim = c(-18,18)) # initial graph
# loop over draws
for (r in 1:5) {
e <- rnorm(50)
y <- ts(cumsum(e)) # random walk as cumulative sum of shocks
lines(y, col = gray(.6)) # add line to graph
}
圖形形式如下：
2. 帶趨勢的隨機游走（在隨機游走的基礎上帶上趨勢a，如a=2）：
set.seed(2224)
plot(c(0,50),c(0,100),type = 'l', lwd=2) # initial graph
# loop over draws
for (r in 1:5) {
e <- rnorm(50)
y <- ts(cumsum(2+e)) # random walk as cumulative sum of shocks
lines(y, col = gray(.6)) # add line to graph
}
隨機游走非平穩序列需Xt前系數=1，相反平穩序列需系數小於1
3.差分方式處理隨機游走（yt-yt-1,yt-1-yt-2,...................)，作用是使時間序列中單位根或隨機游走變平穩
set.seed(22224)
plot(c(0,50),c(2,2),type = 'l', lwd=2,ylim = c(-1,5)) # initial graph
# loop over draws
for (r in 1:20) {
e <- rnorm(50)
y <- ts(cumsum(2+e)) # random walk as cumulative sum of shocks
Dy <- diff(y) # first difference
lines(Dy, col = grey(.6)) # add line to graph
}
五、序列相關
1.序列相關並不影響估計的無偏性和一致性，而僅影響標准誤差項，序列相關指其誤差項和誤差的滯后項之間有一定聯系（顯著相關）， 序列相關的存在可使得回歸結果受到誤差項的序列相關性影響（影響回歸系數的顯著性）。
library(foreign);library(dynlm); library(lmtest)
phillips <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/phillips.dta")
tsdata <- ts(phillips , start=1948)
reg.s <- dynlm(inf ~ unem, data = tsdata, end = 1996) # 通貨膨脹率和失業率之間的關系
summary(reg.s)
結果顯示通貨膨脹率和失業率之間不顯著。是否是序列相關造成的？下一步提取出殘差項。（誤差之間存在序列相關性，由於無法獲取誤差項，固以殘差替代）
檢測模型殘差和其殘差滯后項之間是否存在相關性：
residuals.s <- resid(reg.s) # 模型殘差 coeftest(dynlm(residuals.s ~ L(residuals.s))) # 殘差和殘差滯后項進行回歸
結果發現存在顯著正相關，而失業率對因變量影響不顯著？考慮通過對通貨膨脹率進行差分觀察（d）其對失業率的影響，差分邏輯是觀察通貨膨脹率的變化對失業率帶來的影響。
reg.ea <- dynlm( d(inf) ~ unem , data = tsdata, end = 1996) residual.ea <- resid(reg.ea) coeftest(dynlm(residual.ea ~ L(residual.ea)))
差分以后，再次觀察殘差項和其滯后項之間就不存在相關性了，證明對因變量差分后的模型誤差之間就不存在序列相關性了。檢查一下模型效果相關性就變顯著了。
2.消除序列相關性影響
判斷誤差項之間序列相關其他方式：
library(foreign); library(dynlm) ; library(car) ; library(lmtest)
barium <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/barium.dta")
tsdata <- ts(barium, start = c(1978,2), frequency = 12)
reg <- dynlm(log(chnimp) ~ log(chempi) + log(gas) + log(rtwex) +befile6 +affile6 + afdec6 , data = tsdata )
residual <- resid(reg)
resreg <- dynlm( residual ~ L(residual) + L(residual,2) + L(residual,3) +log(chempi) + log(gas) + log(rtwex) +befile6 +affile6 + afdec6,
data = tsdata
)
結果檢驗：
殘差一階滯后顯著，證明存在序列相關性（判斷方式為所有滯后項只要有一個顯著即顯著存在序列相關影響）。
或者對三個滯后項做F檢驗(lmtest包linearHypothesis方法)
linearHypothesis(resreg, c("L(residual)"))
結果也說明一階滯后是顯著的。說明誤差項存在序列相關。
第三種是使用bgtest，原理是使用拉格朗日乘數的統計量來討論是否有序列相關性。檢驗回歸的R方，原因是回歸方程包含了誤差項，如果R2很大，則說明滯后項可以解釋殘差本身，反之不能解釋殘差。
（需要注意的是，bgtest檢測的是原模型本身，不需要去做殘差處理。其中參數 order=n 表示考慮n階以內的滯后項）
結果說明原始模型中存在序列相關性。
3.異方差問題
隨機誤差的方差項非常數，而是隨時間變化而變化。判斷殘差序列是否存在異方差，可以通過殘差的時序圖或殘差的平方時序圖來判斷
殘差平方圖：
若殘差序列是方差齊性的，則 存在E(ξt) = σ2 , ξt2 應該在某個常數值 σξ2 附近隨機波動，它不應該具有任何明顯趨勢，否則就認為殘差序列存在異方差性。
1）帕萊斯溫士頓估計（orcutt包）--- cochrane.orcutt() ---- 消除序列相關性
library(foreign) ; library(dynlm); library(car) ; library(orcutt)
barium <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/barium.dta")
tsdata <- ts(barium, start = c(1978,2) ,frequency = 12)
# OLS estimation
olsres <- dynlm(log(chnimp) ~ log(chempi) + log(gas) + log(rtwex) + befile6
+ affile6 + afdec6 ,data = tsdata
)
model <- cochrane.orcutt(olsres)
# 注意的是溫士頓估計model和summary(olsres)模型參數的顯著性是一樣的，但是相關系數不同
summary(olsres)
2）coeftest( ， vcov = hccm) 檢測異方差標准誤
library(foreign) ; library(car) ; library(lmtest) ;
gpa3 <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/gpa3.dta")
# OLS regression
reg <- lm(cumgpa ~ sat+hsperc+tothrs+female+black+white,data = gpa3,subset = (spring==1))
bptest(reg)
# results with usual SE
coeftest(reg)
# results with HAC SE
coeftest(reg, vcov = hccm)
3）序列相關文件標准誤和普通標准誤coeftest () / coeftest( , VCOVHAC)
library(foreign) ; library(dynlm) ; library(lmtest) ; library(sandwich)
minwg <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/prminwge.dta")
tsdata <- ts(minwg , start = 1950)
# OLS regression
reg <- dynlm(log(prepop) ~ log(mincov) + log(prgnp) + log(usgnp) + trend(tsdata),data = tsdata)
# results with usual SE
coeftest(reg)
# results with HAC SE
coeftest(reg, vcovHAC)
4）自回歸條件異方差（ 誤差項的平方可以用誤差平方的滯后項來解釋）
運用在如股票波動存在聚集性（暴漲和暴跌），暴漲和暴跌之間不存在相關性，而暴漲和暴跌的平方之間存在相關性，殘差項平方平衡掉漲和跌符號帶來的影響。
library(foreign) ; library(dynlm) ; library(lmtest)
nyse <- read.dta("http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/nyse.dta")
tsdata <- ts(nyse)
# Linear regression of model
reg <- dynlm(return ~ L(return) ,data = tsdata)
# squared residual
residual.sq <- resid(reg)^2
ARCHreg <- dynlm(residual.sq ~ L(residual.sq))
coeftest(ARCHreg)
檢驗結果發現平方項之間確實有強的相關性。