【轉】時間序列分析——基於R，王燕

《時間序列分析——基於R》王燕，讀書筆記

筆記：

一、檢驗：

1、平穩性檢驗：

• 圖檢驗方法：

    時序圖檢驗：該序列有明顯的趨勢性或周期性，則不是平穩序列

    自相關圖檢驗：（acf函數）平穩序列具有短期相關性，即隨着延遲期數k的增加，平穩序列的自相關系數ρ會很快地衰減向0（ 指數級衰減），反之非平穩序列衰減速度會比較慢

 

• 構造檢驗統計量進行假設檢驗：單位根檢驗adfTest()——fUnitRoots包

2、純隨機性檢驗、白噪聲檢驗（Box.test（data，type，lag=n）——lag表示輸出滯后n階的白噪聲檢驗統計量，默認為滯后1階的檢驗統計量結果）

1、Q統計量：type=“Box-Pierce”

2、LB統計量：type=“Ljung-Box”

 

二、模型

1、ARMA平穩序列模型

1.1平穩性檢驗

1.2ARMA的p、q定階——acf（），pacf（），auto.arima（）自動定階

1.3建模arima()

1.4模型顯著性檢驗：殘差的白噪聲檢驗Box.test（）；參數顯著性檢驗t分布

2、非平穩確定性分析

2.1趨勢擬合：直線、曲線（一般是多項式，還有其它函數）

2.2平滑法

• 移動平均法：SMA()——TTR包
• 指數平滑法：HoltWinters()

3、非平穩隨機性分析

3.1ARIMA

1平穩性檢驗，差分運算

2擬合ARMA

3白噪聲檢驗

3.2疏系數模型arima（p,d,f）

3.3季節模型

 

可以疊加的模型

4、殘差自回歸模型：

4.1建立線性模型

4.2對滯后的因變量間擬合線性模型，對模型做殘差自相關DW檢驗。dwtest()——lmtest包，增加選項order.by指定延遲因變量

4.3對殘差建立ARIMA模型

5、條件異方差模型：異方差檢驗：LM檢驗ArchTest（）——FinTS包，用ARCH、GARCH模型建模

 

 

 

第一章 簡介

• 統計時序分析方法：

1、頻域分析方法

2、時域分析方法

 

• 步驟：

1、觀察序列特征

2、根據序列特征選擇模型

3、確定模型的口徑

4、檢驗模型，優化模型

5、推斷序列其它統計性質或預測序列將來的發展

 

• 時域分析研究的發展方向：

1、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）

2、異方差場合：ARCH，GARCH等（計量經濟學）

3、多變量場合：“變量是平穩”不再是必需條件，協整理論

3、非線性場合：門限自回歸模型，馬爾科夫轉移模型

 

第二章 時間序列的預處理

預處理內容：對它的平穩性和純隨機性進行檢驗，最好是 平穩非白噪聲的序列

1、特征統計量

1.1概率分布分布函數或密度函數能夠完整地描述一個隨機變量的統計特征，同樣一個 隨機變量族{Xt}的統計特性也完全由它們的聯合分布函數或聯合密度函數決定。

1.2特征統計量：

• 均值Ex
• 方差σ²
• 自協方差函數（γ）和自相關系數(ρ)：比較的是1個事件不同時期之間的相互影響程度

 

2、平穩的時間序列

2.1定義

• 嚴平穩：隨機變量族的統計性質完全有它們的聯合概率分布族決定，若任意的t下的聯合概率分布族相等，則認為該序列是嚴平穩的
• 寬平穩：統計性質主要由它的低階矩決定：

1）Ex2<無窮

2）均值為常數：Ex=μ（μ為常數）

3）自協方差和自相關系數只依賴於時間的 平移長度而與時間的起止點無關

滿足以上3點則稱為寬平穩時間序列（弱平穩或者二階平穩）

例子：正態分布

一般 滿足寬平穩就稱作平穩序列，當寬平穩序列服從多元正態分布時，二階平穩可以推出嚴平穩。

 

2.2性質

1）均值為常數：Ex=μ（μ為常數）

2）自協方差和自相關系數只依賴於時間的 平移長度而與時間的起止點無關

自相關系數 滿足相關性系數的3性質：規范性、對稱性和非負定性

一個平穩時間序列一定唯一決定它的自相關函數，一個自相關函數未必唯一對應一個平穩時間序列

 

3、時序圖與自相關圖

1）時序圖：橫軸為時間，縱軸為序列取值

2）自相關圖：橫軸為延期時期數，縱軸為自相關系數

 

4、平穩性檢驗

圖檢驗方法

• 時序圖檢驗：該序列有明顯的趨勢性或周期性，則不是平穩序列
• 自相關圖檢驗：（acf函數）平穩序列具有短期相關性，即隨着延遲期數k的增加，平穩序列的自相關系數ρ會很快地衰減向0，反之非平穩序列衰減速度會比較慢

 

構造檢驗統計量進行假設檢驗：單位根檢驗P205

5、純隨機序列——白噪聲

5.1定義

1）Ex=μ（μ為常數）

2）自相關系數γ為0（t！=s），或為σ ²（t=s）

在平穩序列中，如果序列值之間沒有任何相關性，即一個沒有記憶的序列滿足以上2個條件，這種序列稱為 純隨機序列，也稱為白噪聲序列。記為X~WN(μ，σ ²)，這是一種最簡單的平穩序列。：比如： 標准正態分布

5.2性質

1）純隨機序列各項之間沒有任何關聯，γ=0，隨機事件呈現出純隨機波動的特征，就認為該隨機事件沒有包含任何值得提取的有用信息。

2）方差齊性：序列中每個方差都相等為σ ²

5.3純隨機性檢驗（Box.test（data，type，lag=n）——lag表示輸出滯后n階的白噪聲檢驗統計量，默認為滯后1階的檢驗統計量結果）

1、Q統計量：type=“Box-Pierce”

2、LB統計量：type=“Ljung-Box”

• 平穩序列通常具有短期相關性，若序列之間存在顯著的相關關系，通常只存在於延遲時期比較短的序列值之間，因此lag不用全部進行延遲檢驗。

 

第三章 平穩時間序列分析——ARMA

1、差分運算

1）p階差分：p-1階差分后序列再進行一次1階差分運算成為p階差分運算

2）k步差分：相距k期的兩個序列值之間的減法運算稱為k步差分運算

2、延遲算子：將當前序列值乘以一個延遲算子，即把當前序列值的時間向過去撥一個時刻，記B為延遲算子，則有：

x _t-1=B*x_t

x_t-2=B²*x_t

...

x_t-p=B^p*x_t

用延遲算子表示差分運算：

1）p階差分：（1-B） ^px _t

2）k步差分：（1-B ^k）x _t

3、線性差分方程：z _t+a ₁z _t-1+a ₂z _t-2+...+a _pz _t-p=h(t)（p>=1）

• 齊次線性差分方程：h(t)=0
• 非齊次線性差分方程：

4、ARMA模型——自回歸移動平均模型

1、AR模型

2、MA模型

3、ARMA模型：適用於 平穩白噪聲序列

平穩序列建模步驟：P72

1）求出該觀察值序列的樣本相關系數（ACF）和樣本偏相關系數（PACF）

2）選擇ARMA(p，q)的參數p和q，進行擬合：自動定階參數auto.arima（）——需要zoo包和forecast包P79

3）檢驗模型的有效性：模型顯著性檢驗（殘差序列應該為白噪聲序列）和參數顯著性檢驗

4）多建立幾個擬合模型，選擇最優模型

5）預測forecast()——需要forecast包P100

 

第四章 非平穩序列——確定性時序分析

4.1非平穩時序的分解：

1）Wold分解定理：對於任何一個離散平穩過程{xt}，它都可以分解為兩個不相關的平穩序列之和，其中一個為確定性的，另一個為隨機性的。

2） Cramer分解定理：任何一個時間序列{xt}都可以分解為兩部分的疊加，其中一部分是由多項式決定的確定性趨勢成分，另一個是平穩的0均值誤差成分

4.2確定性因素分解

• 四大類因素：

1）長期趨勢

2）循環波動

3）季節性變化

4）隨機波動

• 相互作用模式

1）加法模型

2）乘法模型

• 目標

1）克服其它因素影響，單純測度某一個確定性因素的（長期趨勢或季節效應）

2）推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關系以及它們對序列的綜合影響

• 局限

1）確定性因素分解方法只能提取強勁的確定性信息， 對隨機性信息浪費嚴重

2）確定性因素分解方法把所有序列的變化都歸結為四因素的綜合影響，卻始終無法提供明確、有效的方法判斷各大因素之間確切的作用關系

4.3趨勢分析

• 趨勢擬合法

線性擬合：lm()

曲線擬合：lm或nls，二次型，指數型。。。

• 平滑法

移動平均法：SMA()——TTR包

指數平滑法：HoltWinters()

4.4季節效應分析：構造季節指數S=季節平均數/總平均數

4.5綜合分析decompose()

第五章 非平穩序列——隨機時序分析

5.1差分運算：確定信息提取：diff(x，lag，differences)——lag為差分的步長，默認1；differences為差分次數，默認為1

• 線性趨勢，1階差分就可以實現趨勢平穩
• 曲線趨勢，低階（2階或3階）差分就可以提取曲線趨勢的影響
• 周期序列，步長為周期長度的差分運算
• 綜合：趨勢+周期的序列——1階差分去掉線性趨勢，在1階差分的基礎上進行12步差分去掉年為單位的周期影響(季節波動)

過差分現象：過多次數的差分導致有效信息的無謂浪費而降低了估計的精度。檢測方法是在計算方差，若高階差分序列的方差大於低階，則可能是過差分現象

 

5.2 ARIMA模型——差分運算與ARMA模型的組合

例子：隨機游走模型（有效市場理論核心）：從起始點找醉漢

性質： 平穩性和 方差齊性

• ARIMA模型
• 梳系數模型：模型中有部分自相關系數或平滑系數為0（將自相關較小的階數的系數設置為0，其它大於2D的系數為NA）
• 季節模型（加法，乘積）

差分方法

• 優點：對確定性信息的提取比較充分
• 局限：很難對模型進行直觀解釋

 

自相關：

5.3殘差自回歸模型：用確定性因素提取序列中主要的確定性信息，檢驗殘差序列的自相關性，若自相關性顯著，可以考慮對殘差序列擬合自回歸模型P163（模型的殘差再建模型！）

殘差自相關檢驗：Durbin-Watson(DW)檢驗-->dwtest()——lmtest包

Durbin h檢驗：dwtest()——lmtest包，增加選項order.by指定延遲因變量

 

異方差：

5.4異方差情況：隨機誤差序列的方差不再是常數，它會隨着時間的變化而變化

5.5 方差齊性變換：對於標准差與水平 成正比的異方差序列， 對數變換可以有效地實現方差齊性。P174

5.6條件異方差模型（波動信息）

集群效應：在消除確定性平穩因素的影響之后，殘差序列的波動在大部分時段是平穩的，但會在某些時段波動持續偏大，在某些時段波動持續偏小。

ARCH模型——自回歸條件異方差模型：只適用於異方差 短期自相關過程

ARCH檢驗P179

• 拉格朗日乘子檢驗（LM檢驗）ArchTest（）——FinTS包
• PortmanteauQ檢驗：對殘差平方序列進行純隨機性檢驗Box.test（）

GARCH模型：在ARCH模型中增加考慮了異方差函數的p階自相關性而形成的，可以有效地擬合據有 長期記憶性的異方差函數

第六章 多元時間序列分析

6.3單位根檢驗P211：adfTest()——fUnitRoots包

DF檢驗：

• type=“nc”：無常數均值，無趨勢類型
• type=“c”：有常數均值，無趨勢類型
• type=“ct”：有常數均值，又有趨勢類型

 

非平穩3大類型：

1、無漂移項自回歸（不帶漂移項的差分平穩序列，DS序列）：均值序列非平穩，方差非齊（隨機游走模型）

2、帶漂移項自回歸（帶漂移項的差分平穩序列）：有趨勢且波動性不斷增強的非平穩序列

3、帶趨勢回歸（趨勢平穩序列，TS）：最好通過線性擬合提取序列相關關系，使殘差序列平穩

 

ADF檢驗：

 

6.4協整：兩個非平穩序列之間具有穩定的線性關系