一、Lyapunov方程的計算求解
1、連續Lyapunov方程
連續Lyapunov方程可以表示為：
AX + XA* = -C % 其中A*是A的轉置
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Lyapunov方程源於微分方程穩定性理論，其中要求-C為對稱正定的nxn矩陣，從而可以證明解X亦為nxn對稱矩陣。Lyapunov類的方程求解是很困難的，可以利用Matlab控制系統工具箱中提供的lyap函數求解，調用格式為
X = lyap(A, C)
1
matlab代碼：
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; C = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
X = lyap(A, C)
norm(A*X + X*A' + C) % 驗證解的情況
% 結果：
>> Matrix_equation
X =
-3.9444 3.8889 0.3889
3.8889 -2.7778 0.2222
0.3889 0.2222 -0.1111
ans =
2.3211e-14
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2、Lyapunov方程的解析解
3、離散 Lyapunov方程
離散Lyapunov方程可以表示為：
AXA* - X + Q = 0 % 其中A*是A的轉置矩陣
1
該方程可以由MATLAB控制系統工具箱的dlyap函數直接求解。該函數的調用格式為：
X = dlyap(A, Q)
1
matlab代碼為：
A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; Q = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];
X = dlyap(A, Q)
norm(A*X*A'- X + Q) % 精度驗證
% 結果：
X =
-2.8439 3.2500 -3.0501
3.2500 -3.3780 2.8107
-3.0501 2.8107 -0.5462
ans =
7.6172e-14
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二、Sylvester方程的計算求解
Sylvester方程的一般形式為：
AX + XB = -C
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其中，A為nxn矩陣，B為mxm矩陣，C和X均為nxm矩陣。該方程又稱為廣義的Lyapunov方程。仍然可以用Matlab中控制系統工具箱中的lyap函數直接求解該方程。函數的一般調用格式為：
X = lyap(A,B,C)
1
該函數采用的是Schur分解的數值解法求解方程。
matlab代碼：
A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];
B = [2 3 5;2 7 5;5 4 3];
C = -[3 4 2;3 2 4;2 0 9];
X = lyap(A, B, C)
norm(A*X + X*B + C )
% 結果：
X =
-9.5651 10.3207 -4.3218
1.4515 -1.7102 1.3843
9.9199 -9.7210 4.2467
ans =
3.9005e-14
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三、Riccati方程的計算求解
Riccati方程是一類很著名的二次型矩陣方程式，其一般形式為：
A*X + XA - XBX + C = 0 % A*是A的轉置矩陣
1
由於含有未知矩陣X的二次項， 所以Riccati方程的求解數學上要比Lyapunov方程更難。Matlab的控制系統工具箱提供了現成函數are，調用形式如下：
X = are(A, B, C)
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matlab代碼：
A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];
B = [-2 3 5;2 7 5;5 4 3];
C = [3 4 2;3 2 4;2 0 9];
X = are(A, B, C)
norm(A'*X + X*A - X*B*X + C)
% 結果：
X =
-0.1180 1.4662 -0.6059
0.4316 1.4014 0.0150
0.9982 -0.4684 2.0600
ans =
3.2899e-14
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