數值計算方法實驗之Lagrange 多項式插值 (Python 代碼)

一、實驗目的

  在已知f(x),x∈[a,b]的表達式，但函數值不便計算,或不知f(x),x∈[a,b]而又需要給出其在[a,b]上的值時，按插值原則f(x_i)= y_i(i= 0,1…….,n)求出簡單函數P(x)(常是多項式),使其在插值基點x_i,處成立P(x_i)= y_i(i=0,1,……,n),而在[a,b]上的其它點處成立f(x)≈P(x).

二、實驗原理

 

三、實驗內容

  求之f(x)=x⁴在[0,2]上按5個等距節點確定的Lagrange插值多項式.

四、實驗程序

import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl

#計算插值多項式的系數。
x = [0, 0.5, 1, 1.5, 2]
y = [0, 0.0625, 1, 5.0625, 16]
 
def ParametersOfLagrangeInterpolation(data_x,data_y,size):
    parameters=[]
    
    i=0;#i用來控制參數的個數
    while i < size:
        j = 0;#j用來控制循環的變量做累乘
        temp = 1;
        while j < size:
            if(i != j):
                temp*=data_x[i]-data_x[j]
            j+=1;
        parameters.append(data_y[i]/temp)
        i += 1;
    return parameters
 
#計算拉格朗日插值公式的值。
 
def CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(data_x,parameters,x):
    returnValue=0
    i = 0;
    while i < len(parameters):
        temp = 1
        j = 0;
        while j< len(parameters):
            if(i!=j):
                temp *=x-data_x[j]
            j+=1
        returnValue += temp * parameters[i]
        i += 1
    return returnValue
 
#將函數繪制成圖像
def  Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
        plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="擬合曲線", color="red")
        plt.scatter(data_x,data_y, label="離散數據",color="yellow")
        plt.scatter(1.75, 9.37890625, label="真實數據", color="orange")
        plt.scatter(1.25, 2.44140625, color="green")
        mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
        mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
        plt.title("Lagrange插值擬合數據")
        plt.legend(loc="upper left")
        plt.show()
 
parameters=ParametersOfLagrangeInterpolation(x,y,5)
datax=[0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2]
datay=[]
for temp in datax:
    datay.append(CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(x,parameters,temp))
x.append(1.75)
y.append(CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(x,parameters,1.75))
Draw(x,y,datax,datay)
print("得到的四次Lagrange插值多項式為：L(x) = %f(x-0)(x-1)(x-1.5)(x-2) + %f(x-0)(x-0.5)(x-1.5)(x-2) + %f(x-0)(x-0.5)(x-1)(x-2) + %f(x-0)(x-0.5)(x-1)(x-1.5)"%(parameters[1],parameters[2],parameters[3],parameters[4]))

五、運算結果

    (1)圖像

 

    (2)運算結果

     得到的四次Lagrange插值多項式為：L(x) = -0.166667(x-0)(x-1)(x-1.5)(x-2) + 4.000000(x-0)(x-0.5)(x-1.5)(x-2) + -13.500000(x-0)(x-0.5)(x-1)(x-2) + 10.666667(x-0)(x-0.5)(x-1)(x-1.5)