一、引言
考慮這樣一個實際例子，當我們按下計算器的正弦按鈕時，會發生什么？我們都知道計算器有可以處理加法和乘法的硬件，但是，它是如何計算一個數的正弦值呢？多項式插值法就可以解決這樣的問題。我們將在未來重新審視這個問題。目前，我們先來學什么是插值以及如何插值。
二、什么是插值
如下圖所示，假定我們收集了一組數據點$(x, y)$，譬如$(0, 1), (2, 2), (3, 4)$。有一條經過這三點的拋物線，我們把這條拋物線稱為經過這3點的二次插值多項式。
這樣就引出了插值的數學定義，如下：
【插值的定義】 如果$P(x_i) = y_i (1 \leqslant i \leqslant n)$，那么函數$y = P(x)$插值了數據點
$(x_1, y_1), \cdot \cdot \cdot , (x_n, y_n)$
簡單來講就是，如果一個函數通過了一組數據點，那么就稱這個函數插值了這組數據點。
二、Lagrange插值
2.1 討論
現在我們知道了什么是插值，請大家考慮一個問題，如果我只知道一組n個數據點$(x_1, y_1), \cdot \cdot \cdot , (x_n, y_n)$，我們想要求出一個多項式，能夠插值這一組所有的數據點。並且這個多項式的次數是$d = n - 1$次的，該怎么做？
Lagrange插值公式給出了這個問題的解答方案。例如，假設給定點$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，那么其2次插值多項式可以由Lagrange插值多項式給出，如下：
$P_2(x) = y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} + y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}$
那么有人可能會問，這樣的多項式一定是正確的嗎，答案是：是的。我們可以驗證一下：
1. 當$x = x1$時，$P_2(x1) = y1$;
2. 當$x = x2$時，$P_2(x2) = y2$;
3. 當$x = x3$時，$P_2(x3) = y3$;
我們只考慮這三個點，因為我們只有這三個點，在這3個點上，這個多項式都成功的插值了，因此，這個多項式一定是正確的。（注意這個多項式關於變量$x$是2次的）
2.2 數學定義
一般地，假設給出$n$個點$(x_1, y_1), \cdot \cdot \cdot , (x_n, y_n)$，則對於1和n之間的每一個$k$可定義
$L_k(x) = \frac{(x - x_1) \cdot \cdot \cdot (x - x_{k -1})(x - x_{k + 1}) \cdot \cdot (x - x_n)}{(x_k - x_1) \cdot \cdot \cdot (x_k - x_{k -1})(x_k - x_{k + 1}) \cdot \cdot (x_k - x_n)}$
$L_k$的一個有趣性質是：
1. $L_k(x_k) = 1$
2. $L_k(x_j) = 0 \qquad (j \neq k)$
因此，定義$n - 1$次Lagrange多項式
$P_{n - 1}(x) = y_1 L_1(x) + \cdot \cdot \cdot + y_n L_n(x)$
2.3 存在性和及唯一性
有人會問，對於給定的n個數據點，其插值多項式是唯一的嗎？即只能是由一個多項式才能插值這n個點嗎？答案是：不是。
大家想想就知道，對於二維平面的$n$個坐標點，我們肯定能畫出無窮條線來穿過這些點，每一條線都對應這一個多項式。那么這個問題的意義何在？
多項式是無窮的，但是，對於插值$n$個數據點的多項式，其最高次數是小於等於$n - 1$的，這樣的多項式，只能是只有一個。用數學來描述這個問題如下：
【定理】
設$(x_1, y_1), \cdot \cdot \cdot, (x_n, y_n)$是平面上$x_i$互不相同的$n$個點，那么存在一個而且僅存在一個次數小於等於$n - 1$次的多項式，滿足
$P(x_i) = y_i, \qquad i = 1, \cdot \cdot \cdot, n$
【證明】
(1) 存在性：存在性已由Lagrange插值的顯式公式得出。
(2) 唯一性：假定有存在兩個這樣公式，譬如$P(x)$及$Q(x)$，它們最多是$n - 1$次，而且都插值所有$n$個點，即有：
$P(x_1) = Q(x_1) = y_1, P(x_2) = Q(x_2) = y_2, \cdot \cdot \cdot, P(x_n) = Q(x_n) = y_n$。
則有$H(x) = P(x) - Q(x)$，顯然，$H$的次數最多也是$n - 1$，而且注意到
$H(x_1) = H(x_2) = \cdot \cdot \cdot = H(x_n)$
即$H$有$n$個不同的零點。按照代數學基本定理，一個$d$次多項式，除了它恆等於零多項式，最多可能有$d$個零點。因此有
$H \equiv 0$
於是，
$P(x) \equiv Q(x)$
因此，存在唯一的次數小於等於$n - 1$的多項式$P(x)$插值與$n$個點$(x_i, y_i)$。
2.4 范例
【題目】求插值於點$(0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, -1)$的次數小於等於3的多項式。
【解】Lagrange形式如下：
$P(x) = 2 \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)} + 1 \frac{(x - 0)(x - 2)(x - 3)}{(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)} + 0 \frac{(x - 0)(x - 1)(x - 3)}{(2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)} + (-1) \frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)} = -x + 2$