計組：計算機為什么有反碼補碼？不列公式！

你是如何做減法的？

​ 200-134=？ 相信這個問題難不倒你，讀到這句話的時候，你可能已經口算出了答案。讓我們慢一點，來看看我們是如何一步一步做減法的。
​ 你的腦海里可能浮現出了一個詞:借位。沒錯，減法比加法麻煩的就是，它沒有進位，但有借位這個煩人的東西。對於這道題，將它寫成豎式，從最右邊那一列入手，0是小於4的，所以往左邊借一位，再用10減去4得到6。因為我們往左邊的0借了一位，所以實現上這時的0應該變成-1，-1是小於3的，所以我們又要往左邊借一位。你看，借位是多么的麻煩！

那該如何是好呢，大人？

​ 那么如何通過邏輯門來實現這個邏輯呢？嘿！嘿！嘿！看字，別再想了，你簡直是在折磨自己，為了讓自己好過一點，我們需要想辦法來回避借位操作：
​ 什么情況下，被減數不需要借位？格嘰，格嘰，格嘰格嘰，開動你的腦筋。沒錯，每一位都是9的時候！這里的操作數是3，所以我們取3個9減去134。

從一串9中減去一個數，稱為對9求補數

​ 那么現在，原式變成了這樣

\[200+(999-134)-999 \]

​ 因為200-102是個整數，再加上999就進位了。所以我們不妨把減999變成減1000，這樣做減法的時候好算一點

\[200+(999-134)+1-1000 \]

​ 這樣，我們就回避了借位。在十進制中是取對9的補數，那么在二進制中就是使用1了，上面的例子可化為：

\[\begin{equation}\begin{split} 11001000\\ -10000110\\ \hline \end{split}\end{equation} \]

​ 第一步，我們用11111111(十進制中為255)減去減數:

\[\begin{equation}\begin{split} &{11111111}\\ -&{10000110}\\ &\hline {01111001} \end{split}\end{equation} \]

​ 在二進制中，對1求補數可以不用減法，因為1減去1為0，1減去0為1，只需要按位取反即可。所以對1求補數，也可以稱為相反數或者反碼 。

​ 第二步，把減數對1的補數與被減數相加

\[\begin{equation}\begin{split} {01111001}\\ +{11001000}\\ \hline {101000001} \end{split}\end{equation} \]

​ 第三步，將所得結果加1

\[\begin{equation}\begin{split} {101000001}\\ +{1}\\ \hline {101000010} \end{split}\end{equation} \]

​ 第四步，將所得結果減去100000000(十進制中的256)：

\[\begin{equation}\begin{split} {101000010}\\ -{100000000}\\ \hline {001000010} \end{split}\end{equation} \]

​ 結果001000010相當於十進制的66

有符號數的減法

​ 在計算機中，我們只有0和1，可沒有負號告訴我們這個數是負數。那么如何來表示負數呢？最簡單的當然是用一個二進制數表示負號，當這一位為0時表示正數，當為1時表示負數。不過，根據我們上面的方法，我們用求補數的辦法規定正負數，還能輕松的將正負數相加。不過這種方法也不是十全十美的，缺點就是你得提前知道可能遇到的所有數字的位數。

​ 如果你的花唄額度是500，並且你的余額不超過500，那么你的額度應該在-500到499之間，那我們就可以把：

\[-500,-499,-498....-2,-1,0,1,2...497,498,499 \]

寫成

\[500,501,502...998,999,000,001,002...497,498,499 \]

​ 這種機制在二進制中稱為2的補數。(求2的補數就是先求1的補數再加1)通俗點就是將0到1000分成兩半，前一半為正，后一半為負。對應到二進制就是，1開頭的為負數，0開頭的為正數。跟一開始的用特定二進制位表示正負數從這里來看，沒有什么區別。01嘛，二進制。

​ 現在134-200就相當於134加上-200:

\[\begin{equation}\begin{split} 010000110\\ [phone]\\ \hline 110111110 \end{split}\end{equation} \]

​ 10111110是1000010(66)對2的補數,又110111110首位是1代表是負的，所以結果是-66