該系列為DR_CAN工程數學基礎系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
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1 定義
數學上的線性化（linearization）是找函數在特定點的線性近似，也就是函數在該點的一階泰勒級數。在動力系統研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡點局部穩定性的一種方法。
2 線性系統
符合以下三點的系統我們稱之為線性系統：
3 泰勒級數
泰勒級數是我們對微分方程進行線性化的重要工具。我們可以對函數 \(f(x)\) 使用泰勒級數展開到一階，展開結果可以看作是一條直線：\(k_2x+b\) ：
4 一維的例子
對於如下線性方程，我們在平衡點附近進行線性化。根據理論我們知道當一階導二階導均為0時系統是平衡點，因此代入可得平衡點 \(x_0=1\) 。我們把 \(x_\delta = x_0+x_d\) 代入原微分方程，然后對 \(\frac{1}{x_\delta}\) 進行泰勒展開得到其平衡點的線性近似 \(1-x_d\) ，將結果帶回微分方程 \(\ddot x_\delta + \dot x_\delta +\frac{1}{x_\delta}=1\) ，經過化簡可得到線性化后的微分方程。注意的是這里的 \(x_d\) 並非以一開始的零點為零點，而是以平衡點 \(x_0\) 為零點：
5 狀態空間的例子
與一維情況類似，首先找出平衡點，然后對向量進行泰勒展開，經過代入化簡等方法可以得到和剛才相同的結果：
6 總結
