该系列为DR_CAN工程数学基础系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 定义
数学上的线性化（linearization）是找函数在特定点的线性近似，也就是函数在该点的一阶泰勒级数。在动力系统研究中，线性化是分析非线性微分方程系统或是非线性离散系统，在特定平衡点局部稳定性的一种方法。
2 线性系统
符合以下三点的系统我们称之为线性系统：
3 泰勒级数
泰勒级数是我们对微分方程进行线性化的重要工具。我们可以对函数 \(f(x)\) 使用泰勒级数展开到一阶，展开结果可以看作是一条直线：\(k_2x+b\) ：
4 一维的例子
对于如下线性方程，我们在平衡点附近进行线性化。根据理论我们知道当一阶导二阶导均为0时系统是平衡点，因此代入可得平衡点 \(x_0=1\) 。我们把 \(x_\delta = x_0+x_d\) 代入原微分方程，然后对 \(\frac{1}{x_\delta}\) 进行泰勒展开得到其平衡点的线性近似 \(1-x_d\) ，将结果带回微分方程 \(\ddot x_\delta + \dot x_\delta +\frac{1}{x_\delta}=1\) ，经过化简可得到线性化后的微分方程。注意的是这里的 \(x_d\) 并非以一开始的零点为零点，而是以平衡点 \(x_0\) 为零点：
5 状态空间的例子
与一维情况类似，首先找出平衡点，然后对向量进行泰勒展开，经过代入化简等方法可以得到和刚才相同的结果：
6 总结
