1. 問題描述：機器人一次可以走1m，2m或3m，那么機器人走n米有多少種走法？
2. 問題分析：
用a(n)來表示機器人走n米的走法總數，
那么，n<=0, a(n)=0;
n==1, a(n)=1;
n==2, a(n)=2: 1+1, 2;
n==3, a(n)=4: 1+1+1, 1+2, 2+1, 3;
但如此枚舉下去不是辦法，那么我們換個角度思考： 機器人走完全程的前一次運動時（注：機器人一次可以走1m，2m或3m），它離終點還有多遠：
1. 還有1m, 進行一次走1m的運動就能到達終點。
2. 還有2m, 進行一次走2m的運動就能到達終點。
3. 還有3m, 進行一次走3m的運動就能到達終點。
這樣一來的話，我們可以知道：a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n+3), 即走n米的走法總數 = 走n-1米的走法總數 + 走n-2米的走法總數 + 走n-3米的走法總數
C語言實現：（動態規划——自底向上（迭代法））
// Hello, i'm 九院干干
/* ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + 關鍵點：a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + 此版本借助了輔助n個空間，說明該算法還 + 可以進化 + 時間復雜度O(n), 空間復雜度O(n) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 100 int RobotWalk(int n,int a[]) { int i,x; if(n<=0) return 0; if(n==1 ||n==2) return n; if(n==3) return 4; a[1] = 1; a[2] = 2; a[3] = 4; for(i=4; i<=n; i++) a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3]; // 計算從小到大向前推進，計算a[4]->a[5]->...->a[n] return a[n]; } void main() { int n, KindSum; int a[size]; printf("請輸入機器人要走的路程總長度："); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("機器人的走法有%d種\n", KindSum); system("pause"); }
運行結果：
進一步優化：（上面的算法的空間復雜度為O(n)，改進后，只需3個輔助空間）
C語言實現：
/* +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + 這個算法版本就是利用3個存儲單元，存儲計算米數 + 增加一個長度的三個歷史走法總數。 + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int RobotWalk(int n) { int i, count, temp; int a[3] = {1,2,4}; if(n<=0) return 0; if(n==1) return a[0]; if(n==2) return a[1]; if(n==3) return a[2]; count= 0; /* ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + +下面這個for循環是關鍵，count用來計數，以使數組a中每次只更新最老的歷史數據， + 即最新的數據替換最老的數據，例如最先更新最老數據a[0]，a[0]成為最新數據；之后 + 更新最老數據a[1], a[1]成為最新數據；然后更新最老數據a[2]，a[2]成為最新數據。 + 此過程不斷循環，直到計算出走n米的走法總數。 + ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ for(i=4; i<=n; i++) { temp = a[2] + a[1] + a[0]; a[count] = temp; count = (count+1)%3; //循環更新count，使其取值為{0,1,2}，對應於數組a的下標 } return temp; } void main() { int n, KindSum; printf("請輸入機器人要走的路程總長度："); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n); printf("機器人的走法有%d種\n", KindSum); system("pause"); }
運行結果：
除了運用自底向上的思維，當然還可以使用自頂向下的解法。
C語言實現：（動態規划——自頂向下（遞歸的方式））
// Hello, i'm 九院干干
/* +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + 該算法是采用遞歸的思想，但需要記錄計算過的子問題，以避免重復計算子問題。 + 因此，若是碰到曾經計算過得問題就直接返回其解。 + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 1000 int RobotWalk(int n, int a[]) { if(a[n]!=0) return a[n]; //返回計算過的子問題的解 if(n<=0) return 0; if(n==1 || n==2) return n; if(n==3) return 4; else { a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a); // 遞歸實現 a[n] = a[n-1]+a[n-2]+a[n-3] return a[n]; } } void main() { int n, KindSum; int a[size] = {0}; //對數組元素初始化為0 printf("請輸入機器人要走的路程總長度："); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("機器人的走法有%d種\n", KindSum); system("pause"); }
運行結果：
Python實現：（自底向上 / 迭代法）：
# Hello, i'm 九院干干
#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ # 此算法的輔助空間為3，則空間復雜度可以看成O(1) # 自底向上（迭代法） #++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ def RobotWalk(n): a= [1,2,4] if n<=0 : return 0 if n==1 or n==2 : return n if n==3 : return 4 else: count = 0 for i in range(4,n+1): temp = a[2] + a[1] +a[0] a[count] = temp count = (count+1)%3 return a[count-1] if __name__ == '__main__': n = int(input("請輸入機器人要行走的總路程：")) KindSum = RobotWalk(n) print("機器人的走%d米的走法總數為：%d" %(n,KindSum))
運行結果：
Python實現：（動態規划——自頂向下（遞歸的方式））
def RobotWalk(n,a): if a[n]!=0 : return a[n] if n<=0: return 0 if n==1 or n==2: return n if n==3: return 4 else: for i in range(4,n+1): a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a) return a[n] if __name__ == '__main__': n = int(input("請輸入機器人要行走的總路程：")) a = (n+1)*[0] KindSum = RobotWalk(n,a) print("機器人的走%d米的走法總數為：%d" %(n,KindSum))
運行結果：
