目錄
2.1 1D 數學
2.1.1 數學概念：自然數，整數，有理數，實數，以及它們之間的關系
- 人們為了方便 “數羊” 而發明了自然數：“一頭羊” 就對應數字 1，“兩頭羊”、“三頭羊” 以此類推。同時，確定了 “零” 的概念（即沒有羊）
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如果能賣掉一個你不存在的羊，就實際上是有 “負一”只羊，這也產生了整數：由上面的自然數和它們的相反數（負數）組成
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如果一個人很窮，那么這個人可能只買得起半只羊，甚至四分之一只羊，於是產生了分數的概念：由一個整數除以另一個整數形成，如 2/3，111/27。這些數稱為有理數，也就是數軸上整數之間的空白。同時發明了小數點表示分數，如 3.145 代替 31415/10000
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日常生活中的某些數是無法用上面的有理數表示的，比如圓的周長與直徑的比，也就是 \(\pi\) ，——小數點后需要無窮多位，由此就產生了實數。實數包含有理數和形如 \(\pi\) 這樣的無理數
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研究自然數和整數的領域稱為離散數學，研究實數領域的稱作連續數學
2.1.2 編程語言中short、int、float、double幾種數據類型之間的聯系
- 3D 虛擬世界的設計者需要處理的四一系列離散的和有限的事物，可以使用編程語言中提供的多種數據類型來描述 3D 虛擬世界，包括 short，int、float，double
- short：16位整數，可以表示 65536 個不同的數值
- int：32位整數，可以表示 4,294,967,296 個不同的數值
- float：32位有理數，可以表示 4,29,4,967,296 個數值
- double：64位有理數
- 以上這些數據類型都是離散的
- 為虛擬世界選擇度量單位的關鍵是選擇離散的精度
2.1.3 計算機圖形學第一准則
- 近似原則如果它看上去是對的它就是對的
2.2 2D 笛卡爾數學
2.2.1 2D 笛卡爾坐標系
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每個 2D 笛卡爾坐標系都有一個特殊的點，稱為原點，是坐標系的中心
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每個 2D 笛卡爾坐標系都有兩條過原點的直線向兩邊無限延伸，稱為“軸”
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習慣/標准形式是，水平的軸稱為 x 軸，向右為 x 軸的正方向，垂直的軸稱為 y 軸，向上為 y 軸正方向
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可以根據自己的需要來決定坐標軸的指向，也可以決定軸的正方向
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2D 中有 8 種可能的軸的指向：
- 無論如何選擇 x 軸和 y 軸的方向，總能通過旋轉使得 x 軸向右為正，y 軸向上為正，所以所有的 2D 坐標系都是“等價”的
2.2.2 用笛卡爾坐標（x，y）定位 2D 空間內的點
- 為了在笛卡爾坐標系中定位點，引入了笛卡爾坐標的概念。
- 在 2D 平面中，兩個數（x，y）可以定位一個點，坐標的每個分量都表明了該點與原點之間的距離和方位：每個分量都是到相應軸的有符號距離
- “有符號距離” 指的是在某個方向上距離為正，在相反方向上為負
2.3 從 2D 到 3D
2.3.1 第三個維度，第三個軸
- 為了表示三維坐標系，引入第三個軸：z 軸。一般情況下，這三個軸相互垂直，即每個軸垂直於其他兩個軸
- 在 2D 平面中，指定 x 軸向右為正，y 軸向上為正為標准形式，在 3D 中沒有標准形式
2.3.2 在 3D 笛卡爾坐標系中定位點
- 在 3D 中定位一個點需要3個數：x，y 和 z，分別代表該點到 yz，xz 和 xy 平面的有符號距離
2.3.3 左手坐標系與右手坐標系
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無論任意 2D 坐標系，總能使其變換為標准形式，所以所有的 2D 坐標系都是 “等價” 的
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推廣至 3D坐標系中是錯誤的：通過旋轉只能使得兩個軸和目標坐標系相同，第三個軸總是和目標方向相反
- 原因在於，3D 坐標系之間不一定是等價的，存在着兩種完全不同的 3D 坐標系：左手坐標系和右手坐標系
- 如果同屬左手或右手坐標系，那么可以通過旋轉來重合，否則不可以
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判斷坐標系的類型：右手螺旋定則即可
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左、右手坐標系可以相互轉換，只需要翻轉一個軸的符號即可。如果同時翻轉兩個軸的符號，結果和不翻轉是一樣的
2.3.4 本書的主要約定
- 本書約定：使用左手坐標系，+x，+y，+z 分別指向右方、上方、前方
- 當 “右” 和 “前” 不明確的時候（如：對於世界坐標系），以 +x 表示向 “東”，+z 表示向 “北”
