二叉樹遍歷問題：前、中、后遍歷順序知二求一

二叉樹是每個結點（node）擁有子結點不超過兩個的樹。二叉樹的遍歷（Traversal）是指沿某條路線，依次對樹的每個結點做且僅做一次訪問的過程。其主要方式有前序遍歷（或稱先序遍歷）(Preorder Traversal）、中序遍歷（Inorder Traversal）、后序遍歷（Postorder Traversal）。前序遍歷指對每個結點，先訪問其根結點，再訪問其左側子結點，最后訪問其右側子結點；中序遍歷指對每個結點，先訪問其左側子結點，再訪問其根結點，最后訪問其右側子結點；后序遍歷指對每個結點，先訪問其左側子結點，再訪問其右側子結點，最后訪問其根結點。以下討論以D、L、R分別代指根結點、左側子結點、右側子結點。

根據二叉樹的兩種遍歷順序求第三種遍歷順序實際上是求樹的形態。對於一棵確定的二叉樹，其三種遍歷方式是唯一的。因此只要確定了樹的形態，就可以確定各種遍歷順序。二叉樹遍歷過程是一種遞歸過程。如對左側子結點的訪問，即為對左側子樹的遍歷。即二叉樹遍歷通式圖1-1所示。據此，可由三種遍歷方式的特點確定根結點，再不斷將剩余結點划分為左子樹與右子樹，並最終確定樹的形態，得到未知的遍歷順序。

下面以圖1-2中所示的一棵比較一般的簡單二叉樹為例，說明前、中、后遍歷順序知二求一的詳細過程。

1.由前序遍歷、中序遍歷求后序遍歷

由前序遍歷（DLR）的規則可知，首個訪問對象必為樹根（即首個根結點），后若干項為對左子樹的訪問，再后若干項直至最后是對右子樹的訪問。

例如：已知對某二叉樹前序遍歷順序為：ABDEGHCFI，中序遍歷順序為DBGEHACIF，求后序遍歷順序。

解：由前序遍歷順序可確定第一層根結點為A，記為D₁=A。由中序遍歷順序可確定第一層的左子樹中序遍歷為L₁=(DBGEH)_in，右子樹中序遍歷為R₁=(CIF)_in。配合前序遍歷，可知第一層的左子樹前序遍歷為L₁=(BDEGH)_pre，右子樹前序遍歷為R₁=(CFI)_pre。再根據對L₁中序、前序遍歷的結果，易知D₂=B，同理可得各個結點左、右兩子樹的組成，再不斷迭代即可得到整個樹的結構。

由后序遍歷、中序遍歷求前序遍歷的過程與之類似。

2.由前序遍歷、后序遍歷求中序遍歷

由前序遍歷的規則，可知首個訪問對象必為樹根，第二個訪問對象必為樹根左子樹的樹根。同理，對於后序訪問，最后一個訪問對象為樹根，而倒數第二個訪問對象為右子樹的樹根。可據此將所有訪問對象不斷划分成各個左、右子樹，最終得到二叉樹結構。

例如：已知對某二叉樹前序遍歷順序為：ABDEGHCFI，后序遍歷順序為DGHEBIFCA，求中序訪問順序。

解：由前序遍歷順序可確定第一層根結點為A，記為D₁=A；左子樹根結點為B，記為D_L=B。由后序遍歷順序可確定第一層根結點為A；右子樹根結點為C，記為D_R=C。依此可根據前序遍歷的順序得到對左、右子樹的前序遍歷順序，即L₁=(BDEGH)_pre，R₁=(CFI)_pre；可根據后序遍歷順序得到對左、右子樹后序遍歷順序，即L₁=(DGHEB)_post，R₁=(IFC)_post。再不斷迭代可得到整個樹的可能結構。

有一種特殊情況需要說明：當前序遍歷第二個訪問對象與后序遍歷倒數第二個訪問對象相同時，可認為是該結點左子樹樹根與右子樹樹根相同，也就是說該結點僅有一個子結點。在前序訪問和后序訪問中，此時這個子結點可以認為是該結點的左結點，也可認為是該結點的右結點，這不會影響它在前序訪問和后序訪問中被訪問的順序，但是會影響該結點在中序訪問中被訪問的順序。因此，若二叉樹中某結點僅有一個子結點時，不能由前序遍歷和后序遍歷得出中序遍歷的訪問順序。