[藍橋杯2018初賽]倍數問題

題目描述

眾所周知，小蔥同學擅長計算，尤其擅長計算一個數是否是另外一個數的倍數。
但小蔥只擅長兩個數的情況，當有很多個數之后就會比較苦惱。
現在小蔥給了你 n 個數，希望你從這 n 個數中找到三個數
使得這三個數的和是 K 的倍數，且這個和最大。數據保證一定有解。

輸入

第一行包括 2 個正整數 n, K。
第二行 n 個正整數，代表給定的 n 個數。
1 <= n <= 10^5, 1 <= K <= 10^3，給定的 n 個數均不超過 10^8。

輸出

輸出一行一個整數代表所求的和。

樣例輸入

4 3
1 2 3 4

樣例輸出

9

分析：首先看這個題，從n個數中選三個數，且三個數相加的和是k的倍數，且滿足倍數中最大。

那么這一看就是背包空間3，選數滿足特殊要求，的01背包吧。

現在分析怎么才能構成k的倍數, 假設我們 k=3，要選一個數4，要讓它構成3的倍數，然后要選另一個數，

那么另一個數要讓它余數為零，則要找余數為(0 – x%k + k)%k的數，則推出兩個數相加要求余數不變，則滿足（當前余數 - x%k + k）%k的數。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
vector<int> a[N];
int f[4][N];//4代表當前選的數，N代表余數 

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        a[x % m].push_back(x);//將數按余數分組 
    }

    memset(f, -9999, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for (int i = 0; i < m; i ++ )//枚舉余數背包 
    {
        sort(a[i].rbegin(), a[i].rend());//從大到小排序 

        for (int u = 0; u < 3 && a[i].size() > u; u ++ )//每個分組最多選三個最大的 
        {
            int x = a[i][u];

            for (int j = 3; j >= 1; j -- )
                for (int k = 0; k < m; k ++ ){//枚舉余數 

                    f[j][k] = max(f[j][k], f[j - 1][(k - x%m + m) % m] + x);
                    //f[j - 1][(k - x%m + m) % m] + x保證相加后的余數還為k 
                }
        }
    }

    printf("%d\n", f[3][0]);//輸出我們要的余數為零的數 

    return 0;
}