一文解決 4 道「搜索旋轉排序數組」題

轉載自：leetcode題解區-一文解決 4 道「搜索旋轉排序數組」題

本文涉及 4 道「搜索旋轉排序數組」題：

• LeetCode 33 題：搜索旋轉排序數組
• LeetCode 81 題：搜索旋轉排序數組-ii
• LeetCode 153 題：尋找旋轉排序數組中的最小值
• LeetCode 154 題：尋找旋轉排序數組中的最小值-ii

可以分為 3 類：

• 33、81 題：搜索特定值
• 153、154 題：搜索最小值
• 81、154 題：包含重復元素

33. 搜索旋轉排序數組

題目要求時間復雜度$O(logn)$，顯然應該使用二分查找。二分查找的過程就是不斷收縮左右邊界，而怎么縮小區間是關鍵。

如果數組「未旋轉」，在數組中查找一個特定元素 target 的過程為：

• 若 target == nums[mid]，直接返回
• 若 target < nums[mid]，則 target 位於左側區間 [left,mid) 中。令 right = mid-1，在左側區間查找
• 若 target > nums[mid]，則 target 位於右側區間 (mid,right] 中。令 left = mid+1，在右側區間查找

但是這道題，由於數組「被旋轉」，所以左側或者右側區間不一定是連續的。在這種情況下，如何判斷 target 位於哪個區間？

首先，一個重要的結論：將區間分均分，必然有一半有序，一半無序。問題是如何找到有序的那一半？

根據旋轉數組的特性，當元素不重復時，如果 nums[i] <= nums[j]，說明區間 [i,j] 是「連續遞增」的。

因此，在旋轉排序數組中查找一個特定元素時：

• 若 target == nums[mid]，直接返回
• 若 nums[left] <= nums[mid]，說明左側區間 [left,mid]「連續遞增」。此時：
  • 若 nums[left] <= target < nums[mid]，說明 target 位於左側。令 right = mid-1，在左側區間查找
  • 否則，令 left = mid+1，在右側區間查找
• 否則，說明右側區間 [mid,right]「連續遞增」。此時：
  • 若 nums[mid] < target <= nums[right]，說明 target 位於右側區間。令 left = mid+1，在右側區間查找
  • 否則，令 right = mid-1，在左側區間查找
• 注意：區間收縮時不包含 mid，也就是說，實際收縮后的區間是 [left,mid) 或者 (mid,right]

可以很容易地寫出代碼：

int search(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size()-1, mid;
    while(left <= right)
    {
        int mid = (left+right) >> 1;
        if(nums[mid] == target)  return mid;
        if(nums[left] <= nums[mid])
        {
            if(nums[left] <= target && target < nums[mid])  right = mid-1;
            else left = mid+1;
        }
        else
        {
            if(nums[mid] < target && target <= nums[right])  left = mid+1;
            else right = mid-1;
        }
    }
    return -1;
}

81. 搜索旋轉排序數組-ii

這道題是 33 題的升級版，元素可以重復。當 nums[left] == nums[mid] 時，無法判斷 target 位於左側還是右側，此時無法縮小區間，退化為順序查找。

例如 [1, 3, 1, 1, 1]中查找3，按原來的代碼就會出錯。

順序查找的一種方法是直接遍歷 [left,right] 每一項：

if nums[left] == nums[mid] {
    for i := left; i <= right; i++ { 
        if nums[i] == target {
            return i
        }
}

另一種方法是令 left++，去掉一個干擾項，本質上還是順序查找：

if nums[left] == nums[mid] {
    left++
    continue
}

其實這道題沒有低於O(n)的算法，所以直接遍歷一遍即可。

153. 搜索旋轉排序數組中的最小值

如果數組沒有翻轉，即 nums[left] <= nums[right]，則 nums[left] 就是最小值，直接返回。

如果數組翻轉，需要找到數組中第二部分的第一個元素：

 

下面討論數組翻轉的情況下，如何收縮區間以找到這個元素：

• 若 nums[left] <= nums[mid]，說明區間 [left,mid] 連續遞增，則最小元素一定不在這個區間里，可以直接排除。因此，令 left = mid+1，在 [mid+1,right] 繼續查找

• 否則，說明區間 [left,mid] 不連續，則最小元素一定在這個區間里。因此，令 right = mid，在 [left,mid] 繼續查找
• [left,right] 表示當前搜索的區間。注意 right 更新時會被設為 mid 而不是 mid-1，因為 mid 無法被排除。這一點和「33 題 查找特定元素」是不同的

    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left = 0, right = nums.size()-1, mid;
        while(left <= right)
        {
            if(nums[left] <= nums[right])  return nums[left];   // 如果整個區域遞增
            mid = (left + right)>>1;
            if(nums[left] <= nums[mid])
                left = mid+1;
            else
                right = mid;  // mid是有可能的
        }
        return -1;
    }

154. 搜索旋轉排序數組中的最小值-ii

這道題是 153 題的升級版，元素可以重復。和 81 題一樣，當 nums[left] == nums[mid] 時，退化為順序查找。

81 題提供了兩種方法：

• 一種是直接遍歷 [left,right] 每一項
• 另一種是 left++，跳過一個干擾項

154 題只能使用第一種方法。因為如果 left 是最小元素，那么 left++ 就把正確結果給跳過了。