快速排序的最優時間復雜度是 O(nlogn)

T(n)=2T(n/2)+n

設n=2^k

T(n/2)=2T(n/2^2)+n/2

T(n/2^2)=2T(n/2^3)+n/2^2

T(n)=2T(n/2)+n=2^2T(n/2^2)+2*n/2+n=2^3T(n/2^3)+2^2*n/2^2+2*n/2+n

　　=2^kT(1)+kn=nT(1)+kn=n(logn+T(1))=o(nlogn)

注：T(1)=0

快速排序的最優時間復雜度是 \(O(nlogn)\)，最差時間復雜度是 $O(n^2)$，期望時間復雜度是 $O(nlogn)$。

這里我們證明一下快排的期望時間復雜度。

設$T(n)$為對長度為$n$的序列進行快速排序所需要的期望時間。我們有：

$$T(0) = 0$$

以及：

$$T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

我們可以通過放縮來獲得對 $T(n)$上界的一個估計。

$$T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

$$= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

$$= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

因為 $T(n) >= n$ , 所以對於 $frac{n}{2} <= i <= j$，我們顯然有：

$$T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)$$

所以：

$$T(n) <= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))$$

$$<= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1)$$

我們要證明 $T(n) = O(nlogn)$, 這需要證明存在常數 $c$ 滿足 $T(n) <= cnlogn$。

我們考慮用數學歸納法證明。$n = 0$時定理顯然成立。現在假設對於 $m <= n$ 定理皆成立。那么：

$$T(n) <= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1)$$

$$<= n +\frac{1}{2}(c(\frac{3n}{4})log(\frac{3n}{4}) + c(\frac{n}{4})log(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}c(n-1)log(n-1)$$

$$<= n +c(\frac{3n}{8}log(n) - \frac{3n}{8}log(\frac{4}{3}) + \frac{n}{8}log(n) - \frac{n}{8}log(4) + \frac{n}{2}log(n))$$

$$= cnlogn + n(1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4})$$

當 $1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4} <= 0$時，也即約$c >= \frac{5}{2}$，我們有：

$$T(n) <= cnlogn$$.

歸納成立，$T(n) = O(nlogn)$