快速排序的最优时间复杂度是 O(nlogn)

T(n)=2T(n/2)+n

设n=2^k

T(n/2)=2T(n/2^2)+n/2

T(n/2^2)=2T(n/2^3)+n/2^2

T(n)=2T(n/2)+n=2^2T(n/2^2)+2*n/2+n=2^3T(n/2^3)+2^2*n/2^2+2*n/2+n

　　=2^kT(1)+kn=nT(1)+kn=n(logn+T(1))=o(nlogn)

注：T(1)=0

快速排序的最优时间复杂度是 \(O(nlogn)\)，最差时间复杂度是 $O(n^2)$，期望时间复杂度是 $O(nlogn)$。

这里我们证明一下快排的期望时间复杂度。

设$T(n)$为对长度为$n$的序列进行快速排序所需要的期望时间。我们有：

$$T(0) = 0$$

以及：

$$T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

我们可以通过放缩来获得对 $T(n)$上界的一个估计。

$$T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

$$= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

$$= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(i) + T(n - i - 1)) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))$$

因为 $T(n) >= n$ , 所以对于 $frac{n}{2} <= i <= j$，我们显然有：

$$T(i) + T(n - i) <= T(j) + T(n - j)$$

所以：

$$T(n) <= n + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{2}{n}}^{\frac{3n}{4}}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{2}{n}\sum_{i=\frac{3n}{4}}^{n-1}(T(n - 1) + T(0))$$

$$<= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1)$$

我们要证明 $T(n) = O(nlogn)$, 这需要证明存在常数 $c$ 满足 $T(n) <= cnlogn$。

我们考虑用数学归纳法证明。$n = 0$时定理显然成立。现在假设对于 $m <= n$ 定理皆成立。那么：

$$T(n) <= n + \frac{1}{2}(T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}T(n-1)$$

$$<= n +\frac{1}{2}(c(\frac{3n}{4})log(\frac{3n}{4}) + c(\frac{n}{4})log(\frac{n}{4})) + \frac{1}{2}c(n-1)log(n-1)$$

$$<= n +c(\frac{3n}{8}log(n) - \frac{3n}{8}log(\frac{4}{3}) + \frac{n}{8}log(n) - \frac{n}{8}log(4) + \frac{n}{2}log(n))$$

$$= cnlogn + n(1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4})$$

当 $1 - \frac{3c}{8}log(\frac{4}{3}) - \frac{c}{4} <= 0$时，也即约$c >= \frac{5}{2}$，我们有：

$$T(n) <= cnlogn$$.

归纳成立，$T(n) = O(nlogn)$