最大公因數和最小公倍數算法

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這里只介紹最大公因數算法，因為最小公倍數其實就是兩數相乘再除以最大公因數

我們經常會遇到有關數論的題目，求解最大公因數便是常見的題目之一，以下為幾種常見的方法，他們的主要結構均為遞歸

（1）輾轉相除法

(個人比較喜歡這個算法，比較簡潔)

這便是著名的歐幾里得算法
Euclid 規則：如果 x 和 y 是正整數，且有 x>=y，那么 gcd(x,y)=gcd(x mod y,y)。

int gcd(int a,int b)
{
	if(a<b)
	{
		swap(a,b);
	}
	if(b==0)
	{
		return a;
	}
	return gcd(b,a%b); 
}

例如：求 25 和 11 兩個數的最大公約數，即求 gcd（25，11）
a = x * b + y --> b = x’ * (a%b) + y’ 當 y‘==0 時，a%b 即為它倆的最大公約數
25 = 2 * 11 + 3
11 = 3 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
2 = 2 * 1 + 0

（2）更相減損法
百度百科中的介紹如下：
更相減損法, 又稱 "等值算法"
“關於約分問題, 實質是如何求分子, 分母最大公約數的問題.《九章算術》中介紹了這個方法, 叫做” 更相減損術”, 即 “可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”
　　翻譯成現代語言如下：
　　第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用 2 約簡；若不是則執行第二步。
　　第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。
　　則第一步中約掉的若干個 2 與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
　　
非遞歸實現

int gcd2(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(a%2!=0&&b%2!=0)
	{
		a = a/2;
		b = b/2;
		ans=ans*2;
	}
	while(a != b)
	{
		if(a>b)
		{
			a = a-b;
		}else
		{
			b = b-a;
		}
	}
	return ans*a;
}

遞歸實現

int gcd2_2(int a,int b)
{
	if(a<b)
	{
		swap(a,b);
	}
	if(a==b)
	{
		return a;
	}
	int temp=a-b;
	if(temp<b)
	{
		return gcd2_2(b,temp); 
	}
	else
	{
		return gcd2_2(temp,b);
	}
	
}

遞歸實現實現需在 a，b 為奇數時實現
當 a，b 為任意正整數時，可用如下方式結合然后加以實現：

int gcd2(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(a%2!=0&&b%2!=0)
	{
		a = a/2;
		b = b/2;
		ans=ans*2;
	}
	a=gcd2_2(a,b);
	return ans*a;
}

例如：求 91 和 49 的最大公約數 gcd2(91,49)
91 - 49 = 42
49 - 42 = 7
42 - 7 = 35
35 - 7 = 28
28 - 7 = 14
14 - 7 = 7

（3）分治法
算法思想：
當 a，b 都是偶數時，gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2);
當 a 是奇數，b 是偶數時，gcd(a,b)=gcd(a,b/2);
當 a 是偶數，b 是奇數時，gcd(a,b)=gcd(a/2,b);
當 a，b 都是奇數時，gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b).

代碼實現如下：

int gcd3(int a,int b)
{
	if(a<b)
	{
		swap(a,b);
	}
	
	if(b==0)
	{
		return a;
	}
	if(a%2==0&&b%2==0)
	{
		return 2*gcd3(a/2,b/2);
	}
	else if(a%2!=0&&b%2==0)
	{
		return gcd3(a,b/2);
	}
	else if(a%2==0&&b%2!=0)
	{
		return gcd3(a/2,b);
	}
	else if(a%2!=0&&b%2!=0)
	{
		return gcd3((a-b)/2,b);
	}
}