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橢圓曲線加密中的加法乘法淺析
本文不深入橢圓曲線加密算法的全部知識，只針對橢圓曲線加密中需要用到的加法和乘法計算規則進行淺析。
實際練習中碰到一個比較簡單密碼學的問題，但是涉及到了橢圓曲線加密算法，題目描述如下：
已知橢圓曲線加密Ep(a,b)參數為
p = 15424654874903
a = 16546484
b = 4548674875
G(6478678675,5636379357093)
私鑰為
k = 546768
求公鑰K(x,y)
提示：K=kG
這里需要介紹一下橢圓曲線
一般，橢圓曲線可以用以下二元三階方程的形式來表示：
y² = x³ + ax + b，其中a、b為系數。
它大概的幾何形狀如下圖：
而本文要介紹的加法和乘法，就是基於這樣一個奇怪的幾何圖形來做到的。
橢圓曲線加法（非有限域）：
在橢圓曲線上取一點P(Xp,Yp)，再取一點Q(Xq,Yq)，連接P、Q兩點作一條直線，這條直線將在橢圓曲線上交於第三點G，過G點作垂直於X軸的直線，將過橢圓曲線另一點R（一般是關於X軸對稱的點），R點則被定義為P+Q的結果，既P+Q=R：
當P=Q的情況下，直線將是橢圓曲線在P（Q）點上的切線，而G點是這條切線和曲線的另一個交點，同樣，P+Q=R：
通過上述的圖片和文字描述，已經在幾何圖形上給出了橢圓曲線加法的定義，可是如果要公式化，該如何快速計算呢？
這里只提供快速計算公式，不提供證明，證明可以自己再去解方程組推導一下：
計算P+Q=R
當P！=Q時，兩點縱坐標相減的值與橫坐標相減的值就是直線的斜率：
λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp)
當P=Q，計算過P（Q）點切線的斜率，既橢圓曲線公式兩邊求導相除：
λ = (3Xp² + a)/2Yp
斜率計算之后，對點R的坐標進行計算，公式如下：
Xr = (λ² - Xp - Xq)
Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp)
通過上述公式，可以快速計算橢圓曲線上任意兩點的加法和，這里給出加法實現的python代碼：
if P == Q: aaa=(3*pow(P[0],2) + a) bbb=(2*G[1]) k=(aaa/bbb) else: aaa=(Q[1]-P[1]) bbb=(Q[0]-P[0]) k=(aaa/bbb) Rx=(pow(k,2)-P[0] - Q[0]) Ry=(k*(P[0]-Rx) - P[1]) 橢圓曲線加法（有限域）
實數范圍上光滑的橢圓曲線在密碼學應用上並不合適，需要進行有限域下的離散化操作才能使用。
現在將上述的橢圓曲線加法計算公式適當修改，以適應有限域下的計算：
當P！=Q時，兩點縱坐標相減的值與橫坐標相減的值需要與p進行取余操作：
λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p
當P=Q，計算過P（Q）點切線的斜率，既橢圓曲線公式兩邊求導相除，結果也需要與p進行取余操作：
λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p
斜率計算之后，對點R的坐標進行計算，公式如下：
Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p 通過比較，有限域下的計算只是對結果進行了取余操作，上述公式看起來已經解決了有限域下的橢圓曲線加法。
但是如果在編寫代碼，計算實際的例子時，有很大可能會得到錯誤的結果，
其根源在於λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p或λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p在進行取余計算之前，除數和被除數之前可能並不是一個整除的關系。
如：1/4 mod 23，如果直接進行處理，將會得到結果0。
但是在分數求模計算中，是如下定義的：
計算a/b(mod n) a/b (mod n)=a*b^-1(mod n) 計算1/b mod n =b^(-1) mod n 就是求y，滿足： yb = 1 mod n y是有限域F(n)上x的乘法逆元素 簡單點說，假設需要求上述的1/4 mod 23，可以轉化為1*4（-1次方） mod 23，又可以轉化為1*(4和23的乘法逆元) mod 23。
而計算乘法逆元，可以通過拓展歐幾里得計算得到，這里對拓展歐幾里得不作展開，只提供一個簡單算法流程描述：
ExtendedEuclid(d,f) 1 （X1,X2,X3):=(1,0,f) 2 (Y1,Y2,Y3):=(0,1,d) 3 if (Y3=0) then return d'=null//無逆元 4 if (Y3=1) then return d'=Y2 //Y2為逆元 5 Q:=X3 div Y3 6 (T1,T2,T3):=(X1-Q*Y1,X2-Q*Y2,X3-Q*Y3) 7 （X1,X2,X3):=(Y1,Y2,Y3) 8 (Y1,Y2,Y3):=(T1,T2,T3) 9 goto 3 得到乘法逆元后，橢圓曲線上的加法運算計算就簡單了，實現Python代碼如下:
#coding:utf-8 #歐幾里得算法求最大公約數 def get_gcd(a, b): k = a // b remainder = a % b while remainder != 0: a = b b = remainder k = a // b remainder = a % b return b #改進歐幾里得算法求線性方程的x與y def get_(a, b): if b == 0: return 1, 0 else: k = a // b remainder = a % b x1, y1 = get_(b, remainder) x, y = y1, x1 - k * y1 return x, y #返回乘法逆元 def yunsle(a,b): #將初始b的絕對值進行保存 if b < 0: m = abs(b) else: m = b flag = get_gcd(a, b) #判斷最大公約數是否為1，若不是則沒有逆元 if flag == 1: x, y = get_(a, b) x0 = x % m #對於Python '%'就是求模運算，因此不需要'+m' #print(x0) #x0就是所求的逆元 return x0 else: print("Do not have!") if P == Q: aaa=(3*pow(P[0],2) + a) bbb=(2*P[1]) if aaa % bbb !=0: val=yunsle(bbb,mod) y=(aaa*val) % mod else: y=(aaa/bbb) % mod else: aaa=(Q[1]-P[1]) bbb=(Q[0]-P[0]) if aaa % bbb !=0: val=yunsle(bbb,mod) y=(aaa*val) % mod else: y=(aaa/bbb) % mod Rx=(pow(k,2)-P[0] - Q[0]) % mod Ry=(k*(P[0]-Rx) - P[1]) % mod 橢圓曲線乘法
簡單介紹完橢圓曲線上定義的加法運算，橢圓曲線上的乘法運算就比較簡單了，因為加法可以退化為加法運算，就像算數上的1*3等價與1+1+1。
假設我們需要求2P，則可以化簡為P+P=2P
同理，當我們需要求3P時，可以化簡為P+2P=3P，其中2P=P+P
最后，我們可以得到規律，當求nP時（n為任意正整數），P+(n-1)P=nP，其中(n-1)P=P+(n-2)P
這樣，通過上述介紹的橢圓曲線加法公式，完全可以進行橢圓曲線的乘法計算
以本文開頭的題目為例，給出Python代碼實現：
#coding:utf-8 #歐幾里得算法求最大公約數 def get_gcd(a, b): k = a // b remainder = a % b while remainder != 0: a = b b = remainder k = a // b remainder = a % b return b #改進歐幾里得算法求線性方程的x與y def get_(a, b): if b == 0: return 1, 0 else: k = a // b remainder = a % b x1, y1 = get_(b, remainder) x, y = y1, x1 - k * y1 return x, y #返回乘法逆元 def yunsle(a,b): #將初始b的絕對值進行保存 if b < 0: m = abs(b) else: m = b flag = get_gcd(a, b) #判斷最大公約數是否為1，若不是則沒有逆元 if flag == 1: x, y = get_(a, b) x0 = x % m #對於Python '%'就是求模運算，因此不需要'+m' #print(x0) #x0就是所求的逆元 return x0 else: print("Do not have!") mod=15424654874903 #mod=23 a=16546484 #a=1 b=4548674875 #b=1 G=[6478678675,5636379357093] #G=[3,10] #次數 k=546768 temp=[6478678675,5636379357093] #temp=[3,10] for i in range(0,k): if i == 0: aaa=(3*pow(G[0],2) + a) bbb=(2*G[1]) if aaa % bbb !=0: val=yunsle(bbb,mod) y=(aaa*val) % mod else: y=(aaa/bbb) % mod else: aaa=(temp[1]-G[1]) bbb=(temp[0]-G[0]) if aaa % bbb !=0: val=yunsle(bbb,mod) y=(aaa*val) % mod else: y=(aaa/bbb) % mod #print y Rx=(pow(y,2)-G[0] - temp[0]) % mod Ry=(y*(G