橢圓曲線算法的基本原理及實現

1、基本概念

1）橢圓曲線方程的一般形式：y^2 = x^3 + a*x + b，其中要求滿足不等式 4*a^3 + 27*b^2 ≠ 0

例如：y^2 = x^3 + x + 1 mod 23

2）橢圓曲線上的點的加法公式（適用於 P ≠ Q 的情況）：設 P = (x1, y1)，Q = (x2, y2)，P + Q = R = (x3, y3)，t = (y2-y1)/(x2-x1)，x3 = t^2 - x1 - x2，y3 = t*(x1 - x3) - y1

3）橢圓曲線上的點的加法公式（當上面的 P = Q 時）：P + P = R = (x3, y3)，t = (3*x1^2+a)/(2*y1)，x3 = t^2 - x1 - x1，y3 = t*(x1 - x3) - y1

 

2、准備步驟

1）隨機生成一個數 d 做私鑰

2）選橢圓曲線上的一個點 P，計算 Q = d*P 做公鑰

 

設 A 要加密 M 送給 B，B 的私鑰為 d，公鑰為 Q = d*P

3、加密過程

1）A 隨機生成一個數 k

2）計算 k*P 和 k*Q

3）取 k*Q 的橫坐標與 M 異或得到密文 C

4）A 發送 k*P 和密文 C 給 B

 

4、解密過程

1）B 用自己的私鑰 d 計算 d*(k*P)

2）B 用 d*(k*P) 的橫坐標與密文 C 異或得到 M

 

5、加密及解密的實現

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;

public class Main {
    // 選用的橢圓曲線為 y^2 = x^3 + x + 1 mod 23
    private static int a = 1, b = 1;
    private static HashMap<Integer, Integer> myPoints = new HashMap<>();
    private static final int MAX = 255;

    public static void main(String[] args) {
        // 明文和密文數組的初始化
        char[] myInfo = "1700802067GJQ".toCharArray();
        int[] i_mingwen = new int[myInfo.length];
        int[] miwen = new int[i_mingwen.length];
        char[] c_mingwen = new char[miwen.length];
        for (int i = 0; i < myInfo.length; i++) {
            i_mingwen[i] = (int)myInfo[i];
        }

        // 初始化橢圓曲線上的整數點
        initPoints();

        // 顯示橢圓曲線上的整數點
        // showPoints();
        
        // 獲取橢圓曲線上點的橫坐標集合
        Object[] objArr = myPoints.keySet().toArray();
        ArrayList<Integer> myList = new ArrayList<>();
        for (Object o: objArr) {
            myList.add((Integer) o);
        }

        // 隨機取橢圓曲線上一個點
        int Px = myList.get((int)(Math.random()*myList.size()));
        int Py = myPoints.get(Px);
        MyPoint p = new MyPoint(Px, Py);

        // 隨機取一個 8bit 的數作為私鑰
        int d = (int)(Math.random()*MAX) + 1;
        // 計算Q
        MyPoint Q = new MyPoint(p);
        myECC(Q, 1, d);

        // 隨機取一個 8bit 的數k
        int k = (int)(Math.random()*MAX) + 1;

        // 計算 k*P 和 k*Q
        MyPoint kP = new MyPoint(p);
        myECC(kP, 1, k);
        MyPoint kQ = new MyPoint(Q);
        myECC(kQ, 1, k);
        
        // 加密
        int kQx = kQ.getX();
        for (int i = 0; i < i_mingwen.length; i++) {
            miwen[i] = i_mingwen[i] ^ kQx;
        }
        
        // 計算d*(k*P)
        MyPoint dkP = new MyPoint(kP);
        myECC(dkP, 1, d);

        // 解密
        int dkPx = dkP.getX();
        for (int i = 0; i < miwen.length; i++) {
            c_mingwen[i] = (char) (miwen[i] ^ dkPx);
        }

        // 輸出對密文解密后的明文
        System.out.println(c_mingwen);
    }

    public static void initPoints() {
        double y;
        for (int i = 0; i < 23; i++) {
            y = Math.sqrt((Math.pow(i, 3) + i + 1)%23);
            if (y == (int)y) myPoints.put(i, (int)y);
        }
    }

    public static void myECC(MyPoint p, int i, int d){
        if (i < d) {
            int t = (3*(int)Math.pow(p.getX(), 2)+a)/(2*p.getY());
            int x = (int)(Math.pow(t, 2)) - 2*p.getX();
            int y = t*(p.getX() - x) - p.getY();
            p.setX(x);
            p.setY(y);
            myECC(p, i+1, d);
        }
    }

    public static void showPoints() {
        myPoints.forEach((k, v) -> {
            System.out.println("key: " + k + ", " + "value: " + v);
        });
    }
}

class MyPoint {
    private int x;
    private int y;
    MyPoint() {}
    MyPoint(int x, int y) {
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
    MyPoint(MyPoint P) {
        this.x = P.getX();
        this.y = P.getY();
    }
    public void setX(int x) {
        this.x = x;
    }
    public void setY(int y) {
        this.y = y;
    }
    public int getX() {
        return this.x;
    }
    public int getY() {
        return this.y;
    }
}

 

6、注解：

1）A 用 k*P 與 B 用 d*(k*P) = k*(d*P) = k*Q

2）經過兩次異或得到原文（明文）

 

參考文檔：

https://wenku.baidu.com/view/ff42b6610b1c59eef8c7b477.html

遇到的疑問（已解決）：

1）Objct[] 數組不能直接轉換為 ArrayList。

2）函數不能返回兩個值，可以將要返回的值放入對象中，在函數中改變對象的值。

遇到的疑問（未解決）：

1）P點的橫縱坐標對后續的計算並無影響，即可以不取橢圓曲線上的點。