橢圓曲線
設F是一個域，a,b\(\in\)F，則方程\(y^2=x^3+ax+b\)稱為域F上的橢圓曲線。
上述方程稱為維爾斯特拉斯方程，其判別式為\(y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e\)
比如，實數域上的橢圓曲線如下：
橢圓曲線上的加法：
設F是一個域，a,b\(\in\)F，令E={(x,y)|\(y^2=x^3+ax+b\)}\(\cup\){\(\infty\)}，其中{\(\infty\)}為無窮遠點，則可以定義橢圓曲線上的加法為：
1)設\(P_1,P_2\in E\)，令R為\(P_1,P_2\)兩點連線與橢圓曲線的交點關於X軸的對稱點，則\(P_1+P_2=R\)
2)如果\(P_1,P_2\)兩點關於X軸對稱，那么規定他們連線與橢圓曲線相交於無窮遠點，記為O
3)任何一個點通過上面的運算規則與O相加的和都是它本身
橢圓曲線上的加法的性質：\(\forall P,Q,R\in E\)，如果P,Q,R在一條直線上，那么P+Q+R=O
定理：若規定O+O=O，則(E,+)構成一個阿貝爾群（交換群），其中\(\infty\)為單位元，記為O，P=(x,y)的逆元為Q=(x,-y)
實例：設\(y^2=x^3+x+6\)是\(F_{11}\)上的橢圓曲線，求(3,6)+(5,2)
k=\(\frac{6-2}{3-5}=9\)
y-6=k(x-3)
y=9x+1
將上式代入\(y^2=x^3+x+6\)中得：
\((9x+1)^2=x^3+x+6=x^3+7x^2+5x+5\)
(x-3)(x-5)(x-7)=0
\(\therefore\) x=7
y=9x+1=9
\(\therefore\)(3,6)+(5,2)=(7,-9)=(7,2)
橢圓曲線密碼
以下三類公鑰系統被認為是安全有效的:
- 基於大整數分解問題的RSA型公鑰密碼；
- 基於有限域上離散對數問題的ElGamal型公鑰密碼；
- 基於橢圓曲線離散對數問題的橢圓曲線公鑰密碼。
橢圓曲線公鑰密碼優勢：對於橢圓曲線離散對數問題，目前不存在亞指數時間算法，從而為達到相同安全性所需的密鑰尺寸更小:
– RSA 密碼體制：模長1024 比特；
– 橢圓曲線密碼體制：模長160 比特。
橢圓曲線密碼體制適用於計算、存儲、帶寬受限，但又要求高速實現的應用領域，例如智能卡、無線通訊等。
El'Gamal密碼方案的橢圓曲線形式：
- Gen：設E為\(F_q\)上的橢圓曲線，一般記為E(\(F_q\))，設P = \((x_p,y_p)\in E(F_q)\)，且P的次數足夠大，任取1 < s < ord(P)，令Q = sP = (\(x_q,y_q\))，則E(\(F_q\))，P，Q為公鑰，s為私鑰
- Enc：消息m滿足0 \(\le\) m < \(F_q\)，任取1 < r < \(F_q\)，計算(\(x_1,y_1\)) = rP，(\(x_2,y_2\)) = rQ，c = m·\(x_2\)，則密文為(\(x_1,y_1,c\))
- Dec：計算(x',y') = s(\(x_1,y_1\))，再計算m'=c·\(x'^{-1}\)
正確性驗證：(x',y') = s(\(x_1,y_1\)) = srP = rsP = rQ = (\(x_2,y_2\))，所以x' = \(x_2\)，m' = c·\(x'^{-1}\) = c·\(x_2^{-1}\) = m·\(x_2·x_2^{-1}\) = m