前言：在密碼學中很多地方都需要素數，很多庫直接提供檢驗是否是素數的函數，該文章通過Fermat 素性檢驗算法實現素數檢驗（C語言）。
一、實驗內容
給定奇整數m大於等於3和安全參數k，判斷m是否為合數，或者有(1-1/2^k)概率為素數。
二、實驗環境
(1). Windows7
(2). VC ++ 6.0
(3). Miracl_5.5.4
三、實驗原理：
1.Fermat 小定理：給定素數p,a∈Z，則有a^(p-1)≡1(mod p)；
2.奇整數m，若任取一整數2≤a≤m-2，(a,m)= 1，使得 a^(m-1)=1 (mod m)，則m至少有1/2的概率為素數。
四、實驗涉及的相關函數
1. mirsys()
函數原型：miracl*mirsys(int nd,int nb)
功能說明：初始化MIRACL系統
2. mirvar()
函數原型：flash mirvar(iv)
功能說明：通過為其保留適量的內存位置倆初始化大/閃存變量。
3. bigrand()
函數原型：void bigrand(big w,big x)
功能說明：產生一個小於w的大隨機數，x<w
4. egcd()
函數原型：int egcd(big x,big y,big z)
功能說明：計算兩個數的最大公約數，z=gcd（x,y）
5. powmod()
函數原型：void powmod(big x,big y,big z,big w)
功能說明：模冥運算，w=x^y mod z
6. mirkill()
函數原型: void mirkill(x)
功能說明：通過將其歸零並釋放其內存來安全的殺死大/閃存數字。
7. compare()
函數原型：int compare(big x,big y)
功能說明：比較兩個數大小，x>y時返回+1，x=y時返回0，x<y時返回 -1。
五、算法步驟
Fermat素性檢驗算法：給定奇整數m>=3和安全參數k=6（這里我取6）
（1）隨機選取整數a, 2<=a<=m-2 （2）計算g=(a,m),如果g=1,轉（3）；否則，跳出，m為合數
（3）計算 r=a^(m-1)(mod m), 如果r=1，m可能是素數，轉（1）；
否則，跳出，m為合數。
（4）重復上述過程k此，如果每次得到m可能為素數，則m為素數
的概率為1-1/2^k。
六、實驗代碼
1 #include"miracl.h" 2 #include<stdio.h> 3 int main (){ 4 FILE *fp; 5 int i=0,k=4; 6 big m,a,b,c,d,e; //定義大整數變量 7 miracl *mip=mirsys(10000,10); //初始化MIRACL系統，初始化10000位的十進制數 8 mip->IOBASE=10; //控制輸入輸出的進制，這里輸入和輸出變量使用的都是十進制 9 m=mirvar(0); //初始化大整數變量 10 a=mirvar(0); 11 b=mirvar(0); 12 c=mirvar(0); 13 d=mirvar(0); 14 e=mirvar(1); //big 1 15 fp=fopen("驗收數據例子.txt","r"); //以讀的方式打開文件 16 if(fp==NULL){ 17 printf("找不到指定文件，無法打開！");} 18 else 19 { 20 cinnum(m,fp); //從文件中讀取大整數並放入大整數變量m中 21 fclose(fp); 22 decr(m,1,b); //大整數變量減去int型整數，這里相當於b=m-1 23 for (i=0;i<k;i++){ 24 while(compare(a,e)!=1) // 產生一個小於b的大數隨機數a，並且使2<=a<=m-2 25 {bigrand(b,a);} 26 egcd(a,m,d); //計算兩個大數a和m的最大公約數d 27 if(!compare(d,e)){ //判斷d是否為1，即m和a是否互為質數，不等於1則跳出，判斷出m為合數 28 powmod(a,b,m,c); //模冥運算，c=a^b mod(m) 29 if(!compare(c,e)) //判斷c是否等於1，不等於1則跳出，判斷出出m為合數 30 { 31 if(i==(k-1)) 32 {printf("m有93.75%的可能性為素數！");} //如果每次循環都得到可能是素數的結論，則最后打印出結果 33 } 34 else{printf("m為合數！"); 35 break;} 36 37 } 38 else {printf("m為合數！"); 39 break;} 40 } 41 mirkill(m); //釋放內存大數所占的內存 42 mirkill(a); 43 mirkill(b); 44 mirkill(c); 45 mirkill(d); 46 mirkill(e); 47 } 48 mirexit(); //清除MIRACL系統，釋放所有的內部變量 49 return 0; 50 }
注：其中需要在源文件和頭文件中加入miracl庫的相應文件。