MR素性檢測算法

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　　素數是除了自身和1以外，沒有其它素數因子的自然數。自從歐幾里得證明了有無窮個素數以后，人們就企圖尋找一個可以構造所有素數的公式，尋找判定一個自然數是不是素數的方法。因為素數的地位非常重要。

　　鑒別一個自然數是素數還是合數，這個問題在中世紀就引起人們注意，當時人們試圖尋找質數公式，到了高斯時代，基本上確認了簡單的質數公式是不存在的，因此，高斯認為對素性判定是一個相當困難的問題。從此以后，這個問題吸引了大批數學家。 素性判斷算法可分為兩大類，確定性算法及隨機算法。前者可給出確定的結果但通常較慢，后者則反之。

　　這里主要講米勒拉賓算法，最后提供c++實現代碼。

　　要測試 是否為素數，首先將 分解為 。在每次測試開始時，先隨機選一個 介於 的整數 ，之后如果對所有的 ，若 且 ，則 N 是合數。否則， 有 的概率為素數。

　　Miller- Rabin算法隨機生成底數a，進行多次調用函數進行測試，Miller-Rabin檢測也存在偽素數的問題，但是與費馬檢測不同，MR檢測的正確概率不 依賴被檢測數p，而僅依賴於檢測次數。已經證明，如果一個數p為合數，那么Miller-Rabin檢測的證據數量不少於比其小的正整數的3/4，換言 之，k次檢測后得到錯誤結果的概率為(1/4)^k。我們在實際應用中一般可以測試15~20次。

 

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

long long qpow(int a,int b,int r)//快速冪
{
    long long ans=1,buff=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans*buff)%r;
        buff=(buff*buff)%r;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool Miller_Rabbin(int n,int a)//米勒拉賓素數測試
{
    int r=0,s=n-1,j;
    if(!(n%a))
        return false;
    while(!(s&1)){
        s>>=1;
        r++;
    }
    long long k=qpow(a,s,n);
    if(k==1)
        return true;
    for(j=0;j<r;j++,k=k*k%n)
        if(k==n-1)
            return true;
    return false;
}
bool IsPrime(int n)//判斷是否是素數
{
    int tab[]={2,3,5,7};
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        if(n==tab[i])
            return true;
        if(!Miller_Rabbin(n,tab[i]))
            return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    long long n;
    while(1)
    {
       cin >> n;
    cout << IsPrime(n)<< endl;
    }

    return 0;
}

      在一次檢驗中，該算法出錯的可能頂多是四分之一。如果我們獨立地和隨機地選擇 a 進行重復檢驗，一旦此算法報告 n 是合數，我們就可以確信 n 肯定不是素數。但如果此算法重復檢驗 25 次報告都報告說 n 可能是素數，則我們可以說 n “幾乎肯定是素數”。因為這樣一個 25 次的檢驗過程給出關於它的輸入的錯誤信息的概率小於 (1/4)²⁵。這種機會小於 10¹⁵ 分之一。即使我們以這樣一個過程驗證了十億個不同的素數，預料出錯的概率仍將小於百萬分之一。因此如果真出了錯，與其說此算法重復地猜測錯，倒不如說由於 硬件的失靈或宇宙射線的原因，我們的計算機在它的計算中丟了一位。這樣的概率性算法使我們對傳統的可靠性標准提出一個問號：我們是否真正需要有素性的嚴格 證明。(以上文字引用自 Donald E.Knuth 所著的《計算機程序設計藝術 第2卷 半數值算法(第3版)》第 359 頁“4.5.4 分解素因子”中的“算法P(概率素性檢驗)”后面的說明)