【計算攝影學】高斯濾波的簡單實現

概念

通常我們認為圖像像素之間的相關性隨着距離增加應該不斷減弱，但是均值濾波並沒有體現這一性質。在對圖像進行均值濾波時，如果圖像中有一些很顯著的亮點，濾波后它的周圍會形成光斑。這正是因為均值濾波無視了距離，對很遠處的像素依舊采用同樣的權重導致的。一些場合，我們為了美感會需要這種效果。另一些場合，這種結果是不利的，特別是在做圖像處理時。因此我們引入了具有距離權重的高斯濾波。

通常而言，高斯函數可以分為一維和二維，一維高斯函數更廣為人知，其就是正態分布的表達式。而二維高斯濾波則具有和一維相似的性質：

由二維高斯函數的圖形，我們很容易看出，若用其作為卷積核，那么越靠近中心的像素相關性越大。在進行高斯濾波時，就是將二維高斯函數作為卷積核，對圖像進行滑窗卷積。二維高斯函數的表達式如下：

毫無疑問，卷積核通常是奇數長寬的窗口，以便於確定中心。高斯濾波的卷積核一般采用正方形，3 × 3或5 × 5甚至更大。由於高斯函數的高度對稱性，取正方形作為卷積核是不難理解的。在本實驗中，我們將高斯函數的卷積核大小設置為：

下面我們以3 × 3大小的卷積核為例，介紹具體如何求取卷積核的數值。在模板的各個位置的坐標如下圖所示（x軸水平向右，y軸豎直向上）：

這樣，將各個位置的坐標（x，y）代入到高斯函數G中，得到的每個值按照位置排列，就得到了模板。

例如：生成高斯核為3 × 3，σ = 0.8的模板：

0.057118	0.12476	0.057118
0.12476	0.2725	0.12476
0.057118	0.12476	0.057118

 

 

 

 

從以上描述中我們可以看出，高斯濾波模板中最重要的參數就是高斯分布的標准差σ。它代表着數據的離散程度，如果σ較小，那么生成的模板中心系數越大，而周圍的系數越小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯；相反，σ較大時，則生成的模板的各個系數相差就不是很大，比較類似於均值模板，對圖像的平滑效果就比較明顯。

 

理論分析

 求解圖像的高斯濾波與均值濾波的步驟相似，可以分為如下幾步：

•  讀取原始圖像
•  求出高斯濾波的卷積核
•  利用 filter2D 函數進行卷積操作
•  寫入高斯濾波后的圖像

高斯濾波與均值濾波對比，主要的不同在於第二步求解卷積核，相比而言高斯濾波卷積核的求解稍微復雜一些。

 

實驗細節

1、卷積核的求取

// 初始化高斯卷積核
kernel = Mat::ones(kHeight, kWidth, CV_32F);

// 找到高斯核的中心點
// 注意該中心點是以0開頭，10σ結尾的中心點
int center = floor(5 * sigma);

// 遍歷Mat，求值
for (int i = 0; i < kHeight; i++) {
    for (int j = 0; j < kWidth; j++) {
        // 坐標（i，j）對應的高斯坐標系中的坐標為(i - center, center - j)
        double x = i - center;
        double y = center - j;
        kernel.at<float>(i, j) = 1.0f / (2.0f * pi*sigma*sigma)*exp(-(1.0f)* ((x * x + y * y) / (2.0f*sigma*sigma)));
        cout << kernel.at<float>(i, j) << "\t\t";
    }
    cout << endl;
}

代碼如上，由用戶輸入的σ，上面又規定了卷積核的大小，因此很容易確定卷積核的中心為：

在真實的代碼環境中，由於下標默認為0開始，因此卷積核的中心可以將最后的+1去掉。此時，將該中心設置為原點（0，0），對整個Mat進行遍歷，對於掩膜矩陣中的每一個點（i，j），其在高斯坐標系中對應的（x，y）坐標為（i - center，center - j），直接套用高斯函數的公式即可求解出掩膜中每一個點的數值。這樣就得到了我們想要的高斯卷積核。

2、利用 filter2D 函數進行卷積操作

與均值濾波類似，直接用filter2D進行卷積操作即可：

Point anchor(-1, -1); //中間的點
int depth = -1;       //深度和輸入一樣
int delta = 0;        //在處理之后　再加上delta,默認0

filter2D(src, dst, depth, kernel, anchor, delta);

 

結果展示

                                                                （原始圖像）

                                               （高斯濾波輸出圖像，取σ = 0.8）

 

最后附上完整代碼：

#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<iostream>
using namespace std;
using namespace cv;
#define pi 3.1415926535

int main()
{
    Mat src, dst;
    Mat kernel;
    string image_name;
    string output_name;
    int kHeight, kWidth, img_height, img_width;
    double sigma;

    cout << "請輸入需要讀取的圖像名稱：";
    cin >> image_name;

    cout << "請輸入輸出的圖像名稱：";
    cin >> output_name;

    cout << "請輸入需要的sigma：";
    cin >> sigma;

    // 進行初始判斷
    src = imread(image_name, IMREAD_COLOR);
    if (src.empty()) {
        cout << "圖像讀取失敗！" << endl;
        return 0;
    }
    else {
        // 若讀取成功，判斷卷積核的大小與圖像大小的關系
        kHeight = 2 * floor(5 * sigma) + 1;
        kWidth = 2 * floor(5 * sigma) + 1;
        img_height = src.rows;
        img_width = src.cols;
        if (img_height < kHeight || img_width < kWidth) {
            cout << "卷積核大小超過圖像大小！" << endl;
            return 0;
        }
    }

    // 初始化高斯卷積核
    kernel = Mat::ones(kHeight, kWidth, CV_32F);

    // 找到高斯核的中心點
    // 注意該中心點是以0開頭，10σ結尾的中心點
    int center = floor(5 * sigma);

    // 遍歷Mat，求值
    for (int i = 0; i < kHeight; i++) {
        for (int j = 0; j < kWidth; j++) {
            // 坐標（i，j）對應的高斯坐標系中的坐標為(i - center, center - j)
            double x = i - center;
            double y = center - j;
            kernel.at<float>(i, j) = 1.0f / (2.0f * pi*sigma*sigma)*exp(-(1.0f)* ((x * x + y * y) / (2.0f*sigma*sigma)));
            cout << kernel.at<float>(i, j) << "\t\t";
        }
        cout << endl;
    }

    Point anchor(-1, -1); //中間的點
    int depth = -1;//深度和輸入一樣
    int delta = 0; //在處理之后　再加上delta,默認0

    filter2D(src, dst, depth, kernel, anchor, delta);
    imshow("高斯濾波", dst);
    imwrite(output_name, dst);
    waitKey(0);
}