《算法導論》圖相關算法小結

最近又抽空讀了一遍《算法導論》，關於圖的內容貫穿了多個章節（比如在動態規划一章埋了無權最短路徑的伏筆，后面才專門講），適用條件各異，而且都有證明過程。
如果不打算熟記證明，僅僅是應用，遇到具體場景再去回憶適用於哪種算法不太方便。

以下內容以手頭的機械工業出版社基於原書第2版的譯本整理了一下，便於速查。
不包含思考題、標注為“*”的章節和習題內容。

符號定義

一般地，
圖G=(V, E)，其中V代表頂點集合，E代表邊集合。ω(u, v)代表從頂點u到頂點v的邊的權值。
如果ω(u, v)總為1，則稱G為不加權的圖。

補充定義

• DAG：有向無回路圖
• 拓撲排序：將DAG的節點按照一定規則輸出：當有u到v的邊，則u在v前面。
• 強連通分支：對於圖G(V, E)，如果一個頂點集合C⊆G，其中每對頂點u和v，u和v相互都是可以到達的，那么稱C是G的一個強連通分支
• 最小生成樹：無向連通圖G的子集T，包含了所有頂點，且邊的權值之和為最小。
• 松弛技術：對於s頂點，d[v]表示s到v的距離。如果d[v] > d[u] + ω(u,v)，則更新d[v] = d[u] + ω(u,v)
• 最大流：對於包含源節點和匯節點的有向非負權圖，最大的流量
• 最大二分匹配：對於圖G=(V,E)，存在邊的子集M⊆E，滿足所有v∈V，M中最多有一條邊與v關聯。最大匹配是最大勢的匹配，即不存在一個邊數更多的M'。

速查表

算法名稱	適用范圍	核心思想	基本步驟	時間復雜度	備注
廣度優先搜索BFS	有向圖/無向圖，不涉及權重	1.隊列 2.頂點按是否訪問過着色	依次訪問一個節點的所有相鄰頂點，訪問時着色並加入隊列。每次循環從隊列出隊。	O(V+E)	可計算不加權的圖最短路徑
深度優先搜索DFS)	有向圖/無向圖，不涉及權重	1.遞歸 2.頂點按是否訪問過着色	依次訪問一個節點的所有相鄰頂點，訪問時着色並遞歸訪問它的相鄰頂點。	O(V+E)
拓撲排序(DFS)	DAG	DFS	執行DFS，當一個頂點DFS完成時插入鏈表頭，這個鏈表就是拓撲排序結果	O(V+E)
計算強連通分支(DFS)	DAG	DFS	執行DFS，對圖G倒置后按照節點訪問次序的降序再計算一次DFS，第二次DFS的生成樹即為強連通分支	O(V+E)
最小生成樹-Kruskal算法	無向連通圖	貪心算法	節點集合A初始化為空集，每次選一條安全邊加入A。具體的，初始化每個節點都是一個集合，每次取最小權值的邊，滿足它的節點(u，v)所在集合不相等，此時令A=A∪{(u,v)}	O(ElgV)
最小生成樹-Prim算法	無向連通圖	貪心算法	節點集合A初始化為空集，每次選一條安全邊加入A。具體的，初始化所有節點距離A為正無窮，先在A加入一個節點，距離A為0。每次取一個離集合A中所有頂點中最近的邊，加入它和它的頂點u，並將u的所有相鄰節點v的距離更新一次(新距離=min(u到v, key(v)))，直到所有頂點都加入了A	O(ElgV)，可以改進到O(E+VlgV)
單源最短路徑-Bellman-Ford算法	有向圖，權重可為負	松弛技術	松弛多次，次數為頂點數-1	O(VE)	如果有負權回路，返回值false。可用於差分約束問題求解。
單源最短路徑-DAG	DAG	拓朴排序、松弛技術	拓朴排序，按序取頂點，對它的所有臨邊松弛	O(V+E)
單源最短路徑-Dijkstra算法	有向圖，邊權重非負	松弛技術	頂點集合S初始化為空集，加入源節點s。選取距離S整體最近的頂點u，松弛u的所有相鄰頂點v，直到所有頂點都並入S	O((V+E)lgV)	可以用斐波那契堆優化至O(VlgV+E)
每對頂點最短路徑-Floyd-Warshall算法	有向圖	動態規划	三重循環，k、i、j -> 1 to n, d(k)(i)(j) = min(d(k-1)(i)(j), d(k-1)(i)(k) + d(k-1)(j)(k))	O(n^3)
每對頂點最短路徑-Johnson算法	有向圖，稀疏圖，邊權重非負	重賦權，Dijkstra + Bellman-Ford	較為復雜，略	O(V^2lgV+VE)
最大流-Ford-Fulkerson方法	有向圖，邊權重非負，包含源節點和匯頂點	依賴三種思想及其對應實現	較為復雜，略	基本算法為O(E|f*|)	本書只介紹了基本算法、Edmods-Karp算法等。可用於解最大二分匹配問題

后注

每對頂點間最短路徑也可以用Dijkstra和Bellman-Ford解決但不是最優，具體分析略。

附：圖相關的NP完全問題

不詳細介紹問題的含義。

1. 團問題
2. 頂點覆蓋問題，在35章介紹了近似算法
3. 哈密頓回路問題
4. 旅行商問題，在35章介紹了近似算法