關於n對鹼基的DNA種類數問題

UPDATE

2020-2-29

經過一些同學的疑問后，我對此條目也發生了一些懷疑。

這種算法是基於，“ 兩條鏈只是互相反向，但是不能區分 ” 這個觀點來算的。

但是實際情況往往有很多可以區分的方法，比如有義鏈，着絲點等等，所以近似 \(4^n\) ，與高中生物無太大差別。但是也不乏各種特殊情況， \(DNA\) 的奧秘還沒有一個定論。

所以此文僅當作理論化的特殊情況看就好了x。

此外，正文中開篇提出的題沒有給出正確答案。

在此給出 “理論” 上的解：

首先考慮一條鏈的所有情況，一共有

\[4\times 2\times 4\times 2+4\times 2\times 2\times 2=96 \]

明顯這條鏈只有四個。

我們有 \(ATCG\) 每個鹼基 \(2\) 個可以選。

第一個位置有四種性質，但是第二個時，如果選和第一個位置一類的鹼基（比如都選了 \(A\) 或 \(T\) ，之后就只有 2種情況；反之有四種。這就是+號的意義

我們知道除了一種類似 ‘回文’ 一樣的串只計了一次，我們要先找這種鏈的個數，等同於找長度為 \(2\) 個鹼基的鏈的個數，是 \(4\times 4=16\) 。

最后在除二之前將這部分再多加一份就行了：

\[ans=\frac{96+16}{2}=56 \]

（最后修正了些筆誤

正文

某天在冊子上做到了這么個問題：

• 如果有 \(2\) 個 \(A-T\) 鹼基對和 \(2\) 個 \(C-G\) 鹼基對，那么可能有多少種可能的 \(DNA\) 片段？

我最初想是 \(C^{2}_{4}\times 2^4\div 2\) ，和選項不符，也沒多想就過了。

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上面那個式子的解釋：

• 考慮 \(4\) 個鹼基對的有重復排列，是 \(\frac{4!}{2!\times 2!}\) ，再考慮每個鹼基有正反兩種放法（如 \(A-T\) 和 \(T-A\) ），所以每個乘 \(2\) 。最后注意到 \(DNA\) 的反向對稱使得其翻轉過來是一樣的，會有中心對稱的情況，所以再除以 \(2\) 。

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然后之后又做了關於 “ \(n\) 對鹼基的 \(DNA\) 可能有多少種可能 ” 這樣的題，答案竟然給了個 \(4^n\) !

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\(DNA\) 的種類其實是和上面的解釋一樣的：

• \(n\) 個鹼基對的排列有 \(2^n\) ，然后每個鹼基對兩種情況再乘 \(2^n\) ，最后（理應）除 \(2\) 。

然而還有另外一種理解，可能對下面的思考更有用：

• 考慮一條鏈，\(4\) 種鹼基的排列有 \(4^n\)​ 種 ，另一條靠鹼基互補配對確定，最后再除 \(2\) 。

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剛好有幾位同學也有此疑問，於是我們開始思考其原因。

首先，有一個理論，由於 \(DNA\) 是有方向的，兩端並不一樣，一端的磷酸連的是脫氧核糖上的 \(5\) 號碳，所以將其命名為 \(5`\) 端，另一端的羥基連的是 \(3\) 號碳，所以稱為 \(3`\) 端。這個理論可能會造成兩種可能間的微小的不同。

之后，我們思考了下其多算的原因：

• 第一種，由於鹼基互補：

  \[\begin{vmatrix} A & T\\ C & G \end{vmatrix} \;\equiv\; \begin{vmatrix} G & C\\ T & A \end{vmatrix} \]

• 第二種，簡單的對稱:

  \[\begin{vmatrix} A & T\\ C & G \end{vmatrix} \;\equiv\; \begin{vmatrix} C & G\\ A & T \end{vmatrix} \]

然后，枚舉了 \(n=2\) 的所有情況

\[\begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (1) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (2) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & G\\ C & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (3) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (4) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (5) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix} \equiv \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (6) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ G & C\\ C & G\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (7) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ C & G\\ G & C\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (8) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ T & A\\ A & T\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (9) \\ \begin{vmatrix} 3 & 5\\ A & T\\ T & A\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ (10) \]

可以發現，除了最后四種，都重復了兩次，這是由於鹼基配對的重復。而最后四種乍一看有重復，但是 \(3`\) 和 \(5`\) 是反的。

那么我們的重點就是如何找到只算一次的項。

可以發現，只要是按鹼基配對變換后再倒過來和原來一樣的鏈，都只會計一次。

例如：

\[\begin{vmatrix} 3 & 5\\ \color{red}{A} & \color{teal}{T}\\ \color{red}{T} & \color{teal}{A}\\ \color{red}{G} & \color{teal}{C}\\ \color{teal}{C} & \color{red}{G}\\ \color{teal}{A} & \color{red}{T}\\ \color{teal}{T} & \color{red}{A}\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ \]

而如何一樣呢，只需要對半分開，然后計算一半長鏈的排列，另一半按配對填上就行了。即為 \(4^{n\over2}\) 。而只有偶數長度會有這種情況，奇數是不行的。

最后我們只要在除之前將這部分再加一份，求可以不多除了！

\[Ans(n)=\begin{cases} \frac{4^n}{2} & \text{$n=2k+1$}\\ \frac{1}{2}\times(4^n+4^{\frac{n}{2}}) & n=2k \end{cases} \]

這就是結論的式子啦！

經過打表檢驗正確。

至於 \(4^n\) 的來源，我們可以這么想，一般 \(DNA\) 分子是憑依在蛋白質載體上，所以按具體情況有辦法區分兩條排列一樣的鏈，所以所謂對稱就不存在了，但是若是單獨討論 \(DNA\) 答案即為而上述結論。

聲明與感謝

感謝兩位朋友 \(yyy\) 和 \(zyl\) 的指點。（@opethrax @BeyondLimits

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\(\frak by\; thorn\_\)