前言
交軌法，是解析幾何中求動點軌跡方程的常用方法之一。其使用步驟大致是：首先選擇適當的參數表示兩動曲線的方程，將兩動曲線方程中的參數消去，然后得到不含參數的方程，此方程即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法[交點軌跡法]。
交軌法也可以說是參數法，但是參數法不一定是交軌法。
典例剖析
法1：參數方程法，首先聯立兩個方程，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0①}\\{mx+y-1=0②}\end{array}\right.\)
給②式乘以\(m\)，消\(y\)得到，\(x=\cfrac{m+1}{m^2+1}\)，代入②式得到\(y=\cfrac{1-m}{m^2+1}\)
即交點軌跡的參數方程為
或者說我們就可以用參數方法來回答這個問題。
不過我們還是繼續完成接下來的任務，重點和難點是消參。
\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{m+1}{m^2+1}①}\\{y=\cfrac{1-m}{m^2+1}②}\end{array}\right.\quad (m為參數)\)，如何消參，
給①^2+②^2，得到\(x^2+y^2=\cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+\cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=\cfrac{2}{m^2+1}\)，
又\(x+y=\cfrac{2}{m^2+1}\)，故\(x^2+y^2-x-y=0\)。
又當\(x=0\)且\(y=0\)時，\(m\)不存在，
故所求的軌跡方程為\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
法2：交軌法，將兩個方程分別變形為\(my=x-1\)和\(mx=1-y\)，
當\(m=0\)時，兩個方程不能相除，此時得到兩個直線的交點為\((1，1)\)；
當\(m\neq 0\)時，兩式相除得到\(\cfrac{my}{mx}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，即\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，
變形為\(y(1-y)=x^2-x\)，整理為\(x^2+y^2-x-y=0\)，即\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\cfrac{1}{2}\)
再分別驗證點\((1，1)\)和點\((0，1)\)和點\((1，0)\)都在上述曲線上，但是點\((0，0)\)不應該在軌跡曲線上，
[為什么驗證這四個點，原因是由\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，兩個橫行即分子分母都為零，得到點\((0，1)\)和\((1，0)\)，兩個豎行都為零，得到點點\((0，0)\)和\((1，1)\)，]
故所求的軌跡方程為\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
可轉化划歸
法1：定義法，記\(\odot O_1\)的圓心\((0,0)\)為點\(F_1\)，半徑為\(r_1=1\)，記\(\odot O_2\)的圓心\((4,0)\)為點\(F_2\)，半徑為\(r_2=3\)，
再設動圓的圓心坐標為\(P(x，y)\)，半徑為\(R\)，則由於動圓\(\odot P\)與兩個圓都內切，則有\(|PF_1|=R+1\)，\(|PF_2|=R+3\)，
即\(|PF_2|-|PF_1|=2\)，故動點\(P\)到兩個定點的距離的差為定值[注意沒有絕對值]，則動點的軌跡為雙曲線的右支。
又由上式可知，\(a=1\)，\(2c=|F_1F_2|=4\)，故\(c=2\)，則\(b=\sqrt{3}\)，
故得到標准形式的雙曲線的方程為\(\cfrac{x^2}{1^2}-\cfrac{y^2}{3}=1\)①，
但是上述的雙曲線方程是基於雙曲線的中心在坐標原點處的，而本題目的雙曲線的中心在點\((2,0)\)，
故將①式對應的圖像向右平移兩個單位，則得到\(\cfrac{(x-2)^2}{1^2}-\cfrac{y^2}{3}=1\)，即\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)，
故所求的動圓圓心軌跡為雙曲線的右支，其中心為\((2,0)\)，實半軸長為\(1\)，虛半軸長為\(\sqrt{3}\)的雙曲線。
法2：交軌法，本題目並沒有明確要求交點的軌跡，但是我們可以將其轉化，使得動點[動圓的圓心]稱為兩曲線族的交點，用交軌法求解。
設動圓的圓心坐標為\(P(x，y)\)，半徑為\(R\)(此處我們視其為參數)，
\(\odot O_1\)的圓心\((0,0)\)，半徑為\(r_1=1\)，\(\odot O_2\)的圓心\((4,0)\)，半徑為\(r_2=3\)，
則點\(P\)的第一軌跡是以\(O(0,0)\)為圓心，以\(R-1\)為半徑的圓周(同心圓族)，則$$x^2+y^2=(R-1)^2\quad ①$$
點\(P\)的第二軌跡是以\(O_1(4,0)\)為圓心，以\(R-3\)為半徑的圓周(同心圓族)，則$$(x-4)^2+y^2=(R-3)^2\quad ②$$
故動圓圓心\(P\)的軌跡的參數方程為
聯立①②兩式，消去參數\(R\;\)[1]\(\;\)得到，\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)，
[具體的消參過程：
由①得到，\(\sqrt{x^2+y^2}+1=R\)，
由②得到\(\sqrt{(x-4)^2+y^2}+3=R\)，
則得到\(\sqrt{x^2+y^2}+1=\sqrt{(x-4)^2+y^2}+3\)，
先整理得到\(\sqrt{x^2+y^2}-2=\sqrt{(x-4)^2+y^2}\)
兩邊同時平方整理得到，\(\sqrt{x^2+y^2}=2x-3\)，
再次兩邊同時平方整理得到，\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)
由於\(2x-3>0\)，故\(x>\cfrac{3}{2}\)，故只是雙曲線的右支]
故所求的動圓圓心軌跡為雙曲線的右支，其中心為\((2,0)\)，實半軸長為\(1\)，虛半軸長為\(\sqrt{3}\)的雙曲線。