前言
交轨法，是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法之一。其使用步骤大致是：首先选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，然后得到不含参数的方程，此方程即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法[交点轨迹法]。
交轨法也可以说是参数法，但是参数法不一定是交轨法。
典例剖析
法1：参数方程法，首先联立两个方程，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0①}\\{mx+y-1=0②}\end{array}\right.\)
给②式乘以\(m\)，消\(y\)得到，\(x=\cfrac{m+1}{m^2+1}\)，代入②式得到\(y=\cfrac{1-m}{m^2+1}\)
即交点轨迹的参数方程为
或者说我们就可以用参数方法来回答这个问题。
不过我们还是继续完成接下来的任务，重点和难点是消参。
\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{m+1}{m^2+1}①}\\{y=\cfrac{1-m}{m^2+1}②}\end{array}\right.\quad (m为参数)\)，如何消参，
给①^2+②^2，得到\(x^2+y^2=\cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+\cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=\cfrac{2}{m^2+1}\)，
又\(x+y=\cfrac{2}{m^2+1}\)，故\(x^2+y^2-x-y=0\)。
又当\(x=0\)且\(y=0\)时，\(m\)不存在，
故所求的轨迹方程为\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
法2：交轨法，将两个方程分别变形为\(my=x-1\)和\(mx=1-y\)，
当\(m=0\)时，两个方程不能相除，此时得到两个直线的交点为\((1，1)\)；
当\(m\neq 0\)时，两式相除得到\(\cfrac{my}{mx}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，即\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，
变形为\(y(1-y)=x^2-x\)，整理为\(x^2+y^2-x-y=0\)，即\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\cfrac{1}{2}\)
再分别验证点\((1，1)\)和点\((0，1)\)和点\((1，0)\)都在上述曲线上，但是点\((0，0)\)不应该在轨迹曲线上，
[为什么验证这四个点，原因是由\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，两个横行即分子分母都为零，得到点\((0，1)\)和\((1，0)\)，两个竖行都为零，得到点点\((0，0)\)和\((1，1)\)，]
故所求的轨迹方程为\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
可转化划归
法1：定义法，记\(\odot O_1\)的圆心\((0,0)\)为点\(F_1\)，半径为\(r_1=1\)，记\(\odot O_2\)的圆心\((4,0)\)为点\(F_2\)，半径为\(r_2=3\)，
再设动圆的圆心坐标为\(P(x，y)\)，半径为\(R\)，则由于动圆\(\odot P\)与两个圆都内切，则有\(|PF_1|=R+1\)，\(|PF_2|=R+3\)，
即\(|PF_2|-|PF_1|=2\)，故动点\(P\)到两个定点的距离的差为定值[注意没有绝对值]，则动点的轨迹为双曲线的右支。
又由上式可知，\(a=1\)，\(2c=|F_1F_2|=4\)，故\(c=2\)，则\(b=\sqrt{3}\)，
故得到标准形式的双曲线的方程为\(\cfrac{x^2}{1^2}-\cfrac{y^2}{3}=1\)①，
但是上述的双曲线方程是基于双曲线的中心在坐标原点处的，而本题目的双曲线的中心在点\((2,0)\)，
故将①式对应的图像向右平移两个单位，则得到\(\cfrac{(x-2)^2}{1^2}-\cfrac{y^2}{3}=1\)，即\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)，
故所求的动圆圆心轨迹为双曲线的右支，其中心为\((2,0)\)，实半轴长为\(1\)，虚半轴长为\(\sqrt{3}\)的双曲线。
法2：交轨法，本题目并没有明确要求交点的轨迹，但是我们可以将其转化，使得动点[动圆的圆心]称为两曲线族的交点，用交轨法求解。
设动圆的圆心坐标为\(P(x，y)\)，半径为\(R\)(此处我们视其为参数)，
\(\odot O_1\)的圆心\((0,0)\)，半径为\(r_1=1\)，\(\odot O_2\)的圆心\((4,0)\)，半径为\(r_2=3\)，
则点\(P\)的第一轨迹是以\(O(0,0)\)为圆心，以\(R-1\)为半径的圆周(同心圆族)，则$$x^2+y^2=(R-1)^2\quad ①$$
点\(P\)的第二轨迹是以\(O_1(4,0)\)为圆心，以\(R-3\)为半径的圆周(同心圆族)，则$$(x-4)^2+y^2=(R-3)^2\quad ②$$
故动圆圆心\(P\)的轨迹的参数方程为
联立①②两式，消去参数\(R\;\)[1]\(\;\)得到，\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)，
[具体的消参过程：
由①得到，\(\sqrt{x^2+y^2}+1=R\)，
由②得到\(\sqrt{(x-4)^2+y^2}+3=R\)，
则得到\(\sqrt{x^2+y^2}+1=\sqrt{(x-4)^2+y^2}+3\)，
先整理得到\(\sqrt{x^2+y^2}-2=\sqrt{(x-4)^2+y^2}\)
两边同时平方整理得到，\(\sqrt{x^2+y^2}=2x-3\)，
再次两边同时平方整理得到，\((x-2)^2-\cfrac{y^2}{3}=1\)
由于\(2x-3>0\)，故\(x>\cfrac{3}{2}\)，故只是双曲线的右支]
故所求的动圆圆心轨迹为双曲线的右支，其中心为\((2,0)\)，实半轴长为\(1\)，虚半轴长为\(\sqrt{3}\)的双曲线。