回溯算法思想

一、回溯算法主要思想

　　回溯法有“通用的解題法”之稱。用它可以系統地搜索一個問題的所有解或任一解。回溯法是一個既帶有系統性又帶有跳躍性的搜索算法，它在問題的解空間樹中，按深度優先策略，從根節點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任一結點時，先判斷該結點是否包含問題的解。如果不包含，則跳過對以該結點為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結點回溯。否則進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。回溯算法求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有子樹都已被搜索遍才結束。回溯法求問題的一個解時，只要搜索到問題的一個解就可結束。這種以深度優先方式系統搜索問題解的算法稱為回溯算法，它適用於解組合較大的問題。

　　確定了解空間的組織結構后，回溯法從開始結點（根結點）出發，以深度優先方式搜索整個解空間。這個開始結點成為活結點，同時也成為當前的擴展結點。在當前的擴展結點處，搜索向縱深方向移至一個新結點。這個新結點就成為新的活結點，並成為當前擴展結點。如果在當前的擴展結點處不能再向縱深方向移動，則當前擴展結點就成為死結點。此時，應往回移動（回溯）至最近的一個活結點處，並使這個活結點成為當前的擴展結點。回溯法以這種工作方式遞歸地在解空間中搜索，直至找到所要求的解或解空間中已無活結點時為止。

二、用回溯法解題通常包括以下 3 個步驟

（1）針對所給問題，定義問題的解空間；

（2）確定易於搜索的解空間結構；

（3）以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

三、通用的子集樹和排列樹算法模型

（1）子集樹【時間復雜度 O(2ⁿ) 】

void backtrack(int t) {
        if (t > n) {
            Output(x);
        } else {
            for (int i = 0; i <= 1; i++) {
                x[t] = i;
                if (constraint(t) && bound(t)) {    // 剪枝函數　　
                    backtrack(t + 1);
                }
            }
        }
    }

（2）排列樹【時間復雜度 O(n!) 】

void backtrack(int t) {
        if (t > n) {
            Output(x);
        } else {
            for (int i = t; i <= n; i++) {
                swap(x[t], x[i]);
                if (constraint(t) && bound(t)) {     // 剪枝函數
                    backtrack(t + 1);
                }
                swap(x[t], x[i]);
            }
        }
    }

四、總結

　　回溯法核心：找出解決問題的組織結構，是采用子集樹解決，還是采用排列樹解決；

　　回溯法重點：根據問題，找出剪枝函數，避免無效的搜索，導致性能降低；

　　回溯法缺點：比較慢，遞歸求解，排列樹思想要搜索出所有的解，類似於暴力求解，時間復雜度高。