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關於多因子模型的“IC信息系數”那些事：http://blog.sina.com.cn/s/blog_53f0769d0102xhug.html
一、從業績基准進行預期收益率分解
在這里，我們將前面提到的市場組合換成某個業績基准，主動投資經理的業績是相對於其業績基准而言的，主動收益率就是其投資組合收益率與基准組合收益率之差。
在結構化風險模型中我們知道，主動投資經理的投資組合可以看作是市場組合（這里是業績基准）加上一個主動投資組合，我們可以單獨地分離出主動風險，也可以把主動風險分解為共同因子部分和特指部分，以及市場（基准）部分和殘差部分。具體表達如下：
對於一個資產n而言，我們可以將其預期收益率分解為四部分：無風險部分（時間溢價）、業績基准部分（風險溢價）、基准擇時部分（超常業績基准收益率，反映了基准擇時收益，是f減去μ的值）、阿爾法部分（預期殘差收益率，反映了選股收益）。風險溢價被認為是一致預期超額收益率；基准擇時部分+阿爾法部分被認為是預期超常收益率；風險溢價+基准擇時部分+阿爾法部分被認為是預期超額收益率。即：
這種方法給我們提供了一個視角：投資經理所產生的主動收益是對一致預期收益率的偏差。需要注意的是基准擇時部分更多用來討論多時間段的策略，長期上其均值為0。
Markowitz、Sharpe、Metron等人奠基的現代投資組合理論是投資經理在風險和預期收益率之間做的權衡，並在其中使用效用函數選擇滿足效用最大化的投資組合，但這種標准往往導致較高的殘差風險（原因是對於所有風險都使用了相同的厭惡程度，但是事實上投資經理對殘差風險的厭惡程度沒有對據准組合風險的厭惡程度那么高，具體見《主動投資組合管理》），我們可以重新建立主動投資經理的目標函數，將風險和收益率拆解為以下部分：
其中擇時部分和殘差部分相加衡量了投資經理增加價值的能力，即附加值(value added,VA)。其中兩個厭惡系數都將方差轉換為了一種懲罰項，因此VA也可以被看作是一種風險調整預期收益率
二、主動收益率和殘差收益率
可以看到，主動收益率和主動風險包括殘差收益率和業績基准擇時收益率，且當投資經理不考慮擇時（即βP=1或者βPA=0的時候）的時候，主動收益率/風險就的等於殘差收益率/風險。
三、后驗信息率和先驗信息率
信息率(Information Rate,IR)在后驗情形中是某段歷史時期上實現的殘差收益率的信息比率，是對業績的衡量。IR=年化殘差收益率/年化殘差風險，其中年化殘差收益率是已實現的阿爾法和殘差序列的和，業績基准的信息率必然為0。IR與估計出的阿爾法的t統計量有關，如果使用的數據長度為Y年，那么IR≈t(α)/sqrt(Y)。
而從先驗角度來看，信息率則是每承擔一個單位的年化殘差風險所能獲得的預期年化殘差收益率（或者說基金經理所能獲得的最高的年化殘差收益率和年化殘差風險的比率），換句話說，信息率衡量了主動投資經理的機會集。
在實際中，IR的值往往與時間段、資產類別和費率水平等因素相關，但是從整體上看，IR比較接近於一個均值為0的對稱分布，這與我們前面提到的主動管理是一個零和博弈的觀點相符。
四、主動管理定律
也就是說如果我們想要獲得比較好的主動投資管理效果，首先我們需要比較好的預測能力(IC),同時我們需要把這種預測能力用到比較多的股票中，且較頻繁(BR)。
