高等數學——導數的定義和常見導數

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導數是微積分也是高數當中很重要的一個部分，不過很遺憾的是，和導數相關的部分很多同學都是高中的時候學的。經過了這么多年，可能都差不多還給老師了。所以今天的文章就一起來溫習一下導數的相關知識，撿一撿之前忘記的內容。

函數切線

關於導數，最經典的解釋可能就是切線模型了。以前高中的時候，經常對二次函數求切線，后來學了微積分之后明白了，所謂的求切線其實就是求導。

比如當下， 我們有一個光滑的函數曲線\(y=f(x)\)，我們想要求出這個曲線在某個點\(M\)的切線，那么應該怎么操作呢？

如上圖所示，我們可以在選擇另外一個點N，然后做MN的割線。假設T是M的真實的切線，當我們將N向M無限逼近的時候，\(\angle NMT\)在無限縮小，直到趨近與0，而此時的割線MN也就無限逼近於M點真實的切線T。

在圖中，MN的斜率表示為\(\tan\phi\)，其中\(\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\).

當N逼近於M時：

\[\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

我們令\(\Delta x = x - x_0\)，所以：

\[\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

此時\(\tan\phi\)的結果就是函數在\(x_0\)處導數的值，上面這個方法大家應該也都不陌生，在物理課上就經常見到，只不過在物理當中不叫極限也不叫逼近，稱為換元法。但不管叫什么，意思是一樣的。我們理解了上面這些式子之后，再來看看導數真正的定義。

定義

假設函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的鄰域內有定義，當自變量\(x\)在\(x_0\)處取得增量\(\Delta x\)(\(x_0 + \Delta x\)仍然在\(x_0\)的鄰域內)，相應的函數取得增量\(\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)\)。如果\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)在\(\Delta x \to 0\)時的極限存在，稱為函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導。它的導數寫成\(f'(x_0)\)

\[\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

\(f'(x_0)\)也可以記成\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)，或者\(\displaystyle\frac{df(x)}{dx}\)。

如果函數\(y=f(x)\)在開區間\(I\)內可導，說明對於任意\(x \in I\)，都存在一個確定的導數值。所以我們就得到了一個新的函數，這個函數稱為是原函數\(f(x)\)的導函數，記作\(f'(x)\)。

不可導的情況

介紹完了常見函數的導函數之后，我們來看下導數不存在的情況。

導數的本質是極限，根據極限的定義，如果\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a\)。那么，對於某個正數\(\epsilon\)，對於任何正數\(\delta\)，都有\(0 < |x - x_0| < \delta\)時，\(|f(x) - a| \geq \epsilon\)。那么就稱為\(x \to x_0\)時，\(f(x)\)的極限是a。

我們對上面的式子進行變形，可以得到，當\(\Delta x \to 0\)時:

\[\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a \]

也就是說極限存在的條件是無論自變量從左邊逼近\(x_0\)還是右邊逼近，它們的極限都存在並且相等。所以，函數\(f(x)\)在\(x_0\)點可導的充分必要條件就是，函數在\(x_0\)處的左右兩側的導數都必須存在，並且相等。

另一種不可導的情況是不連續，不連續的函數一定不可導。這一點其實很難證明，我們可以來證明它的逆否命題：可導的函數一定連續。

根據導數的定義，一個點的導數存在的定義就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)在\(\Delta x \to 0\)時存在。即：

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) \]

我們把極限符號去掉：

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a \]

這里的a是\(\Delta \to 0\)時的無窮小，我們隊上式兩邊同時乘上\(\Delta x\)，可以得到：

\[\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x \]

由於\(a和\Delta x\)都是無窮小，並且\(f'(x)\)存在，所以\(\Delta y\)也是無窮小。而連續的定義就是當\(\Delta x \to 0\)時，\(\Delta y\)也趨向於0.

反例

我們來舉一個反例：

\[f(x) = |x| \]

它的函數圖像長這樣：

我們試着來證明：\(f(x)\)在\(x=0\)處不可導。

\[\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned} \]

由於\(f(x)\)在\(x=0\)處的左右導數不等，和極限存在的性質矛盾，所以\(f(x)\)在\(x=0\)處不可導。

常見函數的導數

我們再來看一下常見函數的導函數，其實我們了解了導數的定義之后，我們完全可以根據導函數的定義自己推算。但說實話，這些推算意思不大，所以我們直接跳過推算的部分，直接來看結論。

1. \(f(x)=C\)，C是常數。\(f'(x)=0\)
2. \(f(x)=x^n\), \(f'(x)=nx^{n-1}\)
3. \(f(x)=\sin x\)，\(f'(x)=\cos x\)
4. \(f(x)=\cos x\)，\(f'(x)=-\sin x\)
5. \(f(x)=a^x\)， \(f'(x)=a^x\ln a\)
6. \(f(x)=\log_ax\)，\(f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)\)
7. \(f(x)=\ln x\)， \(f'(x)=\frac{1}{x}\)

當然我們實際運用當中遇到的當然不只是簡單的函數，很多函數往往非常復雜。那么對於這些復雜的函數，我們又應該怎么來計算它們的導數呢？敬請期待我們下一篇的內容。

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