華為刷題筆記--購物單

前言

這道題目之所以單獨拿出來寫，是因為在這道題目上花費了比較多的時間。這是一道典型的背包問題，在編程時，如果不加注意，很容易在邊界問題上犯錯誤。

題目描述

王強今天很開心，公司發給N元的年終獎。王強決定把年終獎用於購物，他把想買的物品分為兩類：主件與附件，附件是從屬於某個主件的，下表就是一些主件與附件的例子：
主件 附件
電腦 打印機，掃描儀
書櫃 圖書
書桌 台燈，文具
工作椅 無
如果要買歸類為附件的物品，必須先買該附件所屬的主件。每個主件可以有 0 個、 1 個或 2 個附件。附件不再有從屬於自己的附件。王強想買的東西很多，為了不超出預算，他把每件物品規定了一個重要度，分為 5 等：用整數 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是 10 元的整數倍）。他希望在不超過 N 元（可以等於 N 元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。
設第 j 件物品的價格為 v[j] ，重要度為 w[j] ，共選中了 k 件物品，編號依次為 j 1 ， j 2 ，……， j k ，則所求的總和為：
v[j 1 ]w[j 1 ]+v[j 2 ]w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 為乘號）
請你幫助王強設計一個滿足要求的購物單。

輸入描述:

輸入的第 1 行，為兩個正整數，用一個空格隔開：N m
（其中 N （ <32000 ）表示總錢數， m （ <60 ）為希望購買物品的個數。）

從第 2 行到第 m+1 行，第 j 行給出了編號為 j-1 的物品的基本數據，每行有 3 個非負整數 v p q

（其中 v 表示該物品的價格（ v<10000 ）， p 表示該物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示該物品是主件還是附件。如果 q=0 ，表示該物品為主件，如果 q>0 ，表示該物品為附件， q 是所屬主件的編號）

輸出描述:

輸出文件只有一個正整數，為不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的最大值（ <200000 ）。
示例1
輸入

1000 5 800 2 0 400 5 1 300 5 1 400 3 0 500 2 0
輸出

2200

思路

普通的0/1背包遞推關系很簡單 dp[i][v] = max{dp[i-1], dp[i-v[i]] + val[i]}；這是一道分組背包的題目，可以轉換成0/1背包。
首先分組:
group 0 : price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0 (為防止i-1越界，默認插入一個全0的分組)
group 1 : price = 800, val = 2 | price = 400, val = 5 | price = 300, val = 5
group 2 : price = 400, val = 3 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0
group 3 : price = 500, val = 2 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0

組決策:
1）不選主件 dp[i][v] = dp[i-1][v]
2）只選主件 dp[i][v] = dp[i-v][v-p] + p*val;
3）主件 + 附件1 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p1] + p0*val0 + p1*val1;
4）主件 + 附件2 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p2] + p0*val0 + p2*val2;
5）主件 + 附件1 + 附件2 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p1 - p2] + p0*val0 + p1*val1 + p2*val2;
dp[i][v] 是上述5個決策中最大的

特別注意點 背包問題一般需要插入一個空背包，避免在遍歷時i-1越界，如果不插入空背包，那么需要對i=0這一列單獨初始化，並且循環時，下表從i=1開始

代碼

#include <iostream>
#include <map>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct item
{
	int price;
	int weight;
	int index;   /*主件在原來數組中的索引*/
};

void print(struct item **group, int N)
{
	struct item *e;

	for(int i=0; i<N; i++) {
		e = group[i];
		for(int j=0; j<3; j++) {
			cout <<"price:" << e[j].price <<" weight:" << e[j].weight;
		}
		cout <<endl;
	}
}

struct item **init(int N)
{
	struct item **res = new struct item *[N]();
	for(int i=0; i<N; i++) {
		res[i] = new struct item[3]();
	}

	return res;
}

void destroy(struct item ** e, int N)
{
	for(int i=0; i<N; i++) {
		delete [] e[i];
	}

	delete [] e;
}

int calc(struct item **group, int N, int P)
{
	struct item *e;
	int **dp = new int *[N+1];
	int max_value;

	for(int i=0; i<=N; i++) {
		dp[i] = new int [P+1]();
	}

	for(int i=1; i<=N; i++)
	{
		for(int  j=1; j<=P; j++)
		{
			max_value = 0;
			e = group[i];

			max_value = max(dp[i-1][j], max_value);

			if(j >= e[0].price) {
				max_value = max(dp[i-1][j-e[0].price] + e[0].price*e[0].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[1].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[1].price] + e[0].price*e[0].weight + e[1].price*e[1].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[2].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[2].price] + e[0].price*e[0].weight + e[2].price*e[2].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[1].price + e[2].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[1].price - e[2].price] + e[0].price*e[0].weight + e[1].price*e[1].weight + e[2].price*e[2].weight, max_value);
			}

			dp[i][j] = max_value;
		}
	}

	//max_value = dp[N][P];

	for(int i=0; i<=N; i++) {
		delete [] dp[i];
	}

	delete [] dp;

	return max_value;
}

int main(int argc, char **argv)
{
	struct item **group;
	int N = 5;
	int P = 1000;
	int num = 0;
	int v;
	int p;
	int q;
	int index;
	map <int, int> mp;

	while(cin >> P)
	{
		cin >> N;

		group = init(N);
		num = 1;

		for(int i=1; i<=N; i++)
		{
			cin >> v >> p >> q;

			if(q == 0) {
				group[num][0].price = v/10;
				group[num][0].weight = p;
				group[num][0].index = i;
				mp.insert(pair <int, int>(i, num));
				num++;
			} else {
				index = mp[q];

				if(group[index][1].price == 0) {
					group[index][1].price = v/10;
					group[index][1].weight = p;
				} else {
					group[index][2].price = v/10;
					group[index][2].weight = p;
				}
			}
		}

		//print(group, num);

		cout << 10*calc(group, num, P/10);

		destroy(group, N);
		mp.clear();
	}

	return 0;
}

總結

這條題目死磕了一個下午，最終還是對比洛谷上金明的預算方案別人AC代碼才發現問題，有兩個原因：
1）附件所屬於的主件q下標（從1開始）代表屬於第q個輸入數組的附件，我將q理解成了主件組的數組下標
2）背包問題，需要在背包前加一個空背包，否則需要特別對第1行進行初始化。