华为刷题笔记--购物单

前言

这道题目之所以单独拿出来写，是因为在这道题目上花费了比较多的时间。这是一道典型的背包问题，在编程时，如果不加注意，很容易在边界问题上犯错误。

题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
主件 附件
电脑 打印机，扫描仪
书柜 图书
书桌 台灯，文具
工作椅 无
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：
v[j 1 ]w[j 1 ]+v[j 2 ]w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）
请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m
（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述:

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。
示例1
输入

1000 5 800 2 0 400 5 1 300 5 1 400 3 0 500 2 0
输出

2200

思路

普通的0/1背包递推关系很简单 dp[i][v] = max{dp[i-1], dp[i-v[i]] + val[i]}；这是一道分组背包的题目，可以转换成0/1背包。
首先分组:
group 0 : price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0 (为防止i-1越界，默认插入一个全0的分组)
group 1 : price = 800, val = 2 | price = 400, val = 5 | price = 300, val = 5
group 2 : price = 400, val = 3 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0
group 3 : price = 500, val = 2 | price = 0, val = 0 | price = 0, val = 0

组决策:
1）不选主件 dp[i][v] = dp[i-1][v]
2）只选主件 dp[i][v] = dp[i-v][v-p] + p*val;
3）主件 + 附件1 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p1] + p0*val0 + p1*val1;
4）主件 + 附件2 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p2] + p0*val0 + p2*val2;
5）主件 + 附件1 + 附件2 dp[i][v] = dp[i-1][v-p0 - p1 - p2] + p0*val0 + p1*val1 + p2*val2;
dp[i][v] 是上述5个决策中最大的

特别注意点 背包问题一般需要插入一个空背包，避免在遍历时i-1越界，如果不插入空背包，那么需要对i=0这一列单独初始化，并且循环时，下表从i=1开始

代码

#include <iostream>
#include <map>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct item
{
	int price;
	int weight;
	int index;   /*主件在原来数组中的索引*/
};

void print(struct item **group, int N)
{
	struct item *e;

	for(int i=0; i<N; i++) {
		e = group[i];
		for(int j=0; j<3; j++) {
			cout <<"price:" << e[j].price <<" weight:" << e[j].weight;
		}
		cout <<endl;
	}
}

struct item **init(int N)
{
	struct item **res = new struct item *[N]();
	for(int i=0; i<N; i++) {
		res[i] = new struct item[3]();
	}

	return res;
}

void destroy(struct item ** e, int N)
{
	for(int i=0; i<N; i++) {
		delete [] e[i];
	}

	delete [] e;
}

int calc(struct item **group, int N, int P)
{
	struct item *e;
	int **dp = new int *[N+1];
	int max_value;

	for(int i=0; i<=N; i++) {
		dp[i] = new int [P+1]();
	}

	for(int i=1; i<=N; i++)
	{
		for(int  j=1; j<=P; j++)
		{
			max_value = 0;
			e = group[i];

			max_value = max(dp[i-1][j], max_value);

			if(j >= e[0].price) {
				max_value = max(dp[i-1][j-e[0].price] + e[0].price*e[0].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[1].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[1].price] + e[0].price*e[0].weight + e[1].price*e[1].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[2].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[2].price] + e[0].price*e[0].weight + e[2].price*e[2].weight, max_value);
			}

			if(j >= (e[0].price + e[1].price + e[2].price)) {
				max_value = max(dp[i-1][j- e[0].price - e[1].price - e[2].price] + e[0].price*e[0].weight + e[1].price*e[1].weight + e[2].price*e[2].weight, max_value);
			}

			dp[i][j] = max_value;
		}
	}

	//max_value = dp[N][P];

	for(int i=0; i<=N; i++) {
		delete [] dp[i];
	}

	delete [] dp;

	return max_value;
}

int main(int argc, char **argv)
{
	struct item **group;
	int N = 5;
	int P = 1000;
	int num = 0;
	int v;
	int p;
	int q;
	int index;
	map <int, int> mp;

	while(cin >> P)
	{
		cin >> N;

		group = init(N);
		num = 1;

		for(int i=1; i<=N; i++)
		{
			cin >> v >> p >> q;

			if(q == 0) {
				group[num][0].price = v/10;
				group[num][0].weight = p;
				group[num][0].index = i;
				mp.insert(pair <int, int>(i, num));
				num++;
			} else {
				index = mp[q];

				if(group[index][1].price == 0) {
					group[index][1].price = v/10;
					group[index][1].weight = p;
				} else {
					group[index][2].price = v/10;
					group[index][2].weight = p;
				}
			}
		}

		//print(group, num);

		cout << 10*calc(group, num, P/10);

		destroy(group, N);
		mp.clear();
	}

	return 0;
}

总结

这条题目死磕了一个下午，最终还是对比洛谷上金明的预算方案别人AC代码才发现问题，有两个原因：
1）附件所属于的主件q下标（从1开始）代表属于第q个输入数组的附件，我将q理解成了主件组的数组下标
2）背包问题，需要在背包前加一个空背包，否则需要特别对第1行进行初始化。