題目一
計算十進制數字在二進制表示 1 的個數
舉個例子:
- 十進制數字為 1 時，它的二進制表示是 001，二進制表示 1 的個數為 1；
- 十進制數字為 2 時，它的二進制表示是 010，二進制表示 1 的個數為 1；
- 十進制數字為 3 時，它的二進制表示是 011，二進制表示 1 的個數為 2；
- 十進制數字為 4 時，它的二進制表示是 100，二進制表示 1 的個數為 1；
- 十進制數字為 5 時，它的二進制表示是 101，二進制表示 1 的個數為 2；
- 十進制數字為 6 時，它的二進制表示是 110，二進制表示 1 的個數為 2；
- 十進制數字為 7 時，它的二進制表示是 111，二進制表示 1 的個數為 3；
時間復雜度 O(logn) 的解法
對於這個題目比較容易想到的是如下代碼：
int count = 0;
while(n != 0)
{
if(n % 2 == 1)
{
count++;
}
n = n >> 1;
}
上述代碼主要做了兩個步驟：
n % 2表示對數字求模運算，也就是計算二進制的末尾是 1 還是 0，如果二進制的末尾是 1 ，則 count 自增，count 表示的是二進制表示 1 的個數；n = n >> 1表示把二進制往右移走一位，比如十進制數字 7 的二進制表示是 111 ，那么通過右移一位后，則變成 011。
這個解決方式雖然能計算出二進制表示 1 的個數，但是我們可以發現這個解法的時間復雜度是 O(logn)，比如當 n 為 7 時，它的二進制表示是 111，那么它將會循環 3 次，也就是非常接近 log 以 2 為底 7 的對數的值。
題目二
程序讀入一個整數 n，假設 n 不會大於 1000，請輸出 1 到 n 每個數字的二進制表示 1 的個數。
時間復雜度 O(nlogn) 的解法
可能有的小伙伴說，這題目二還不簡單？直接把上面的解法，增加個 for 循環不就得了。
int main()
{
int i, j, n, count;
scanf("%d", &n);
for(i = 1; i <= n; i++)
{
j = i;
count = 0;
while(j != 0)
{
if(j % 2 == 1)
{
count++;
}
j = j >> 1;
}
printf("number:%d, count:%d\n", i, count);
}
return 0;
}
假設輸入 7，則輸出結果：
number:1, count:1
number:2, count:1
number:3, count:2
number:4, count:1
number:5, count:2
number:6, count:2
number:7, count:3
number:8, count:1
沒錯，用上述的解法增加個 for 循環，確實可以解決題目二的要求，這值得鼓勵，但是程序的時間復雜度是時間復雜度 O(nlogn) ，運行效率不高，所以我們必須要有種精神，就是要用時間復雜度最少的方式去解決算法的問題，這樣才能一次一次的進步。
時間復雜度 O(n) 的解法
請先觀察下面的位運算性質：
y = x & (x - 1)
我們看到，x 和與 x -1 這兩個數字做按位與運算，所以我們要以二進制的角度去思考這個問題。
比如：
- 假設
x是 3，它的二進制是 011； - 那么
x - 1就是 2，它的二進制是 010； x & (x - 1)運算后的二進制就是 010。
那么 x & (x - 1) 實際效果等效於去掉 x 二進制表示中的最后一位 1，從而我們發現原來 y 變量與 x 變量在二進制表示中，只差一個 1。
如果我們用一個數組 f 記錄相應數字二進制表示中 1 的數量，那么 f[i] 數組存放的值是 i 這個數字二進制表示中 1 的數量，從而我們可以推導得到 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1，也就是說 i 數字比 i & (i - 1) 數字的二進制表示中的 1 的數量要多一個，這樣我們通過一步計算就得到 f[i] 的結果，也就是相應數字二進制表示中 1 的數量結果。
代碼如下：
int main()
{
int n,i;
int f[1001];
f[0] = 0;
scanf("%d", &n);
for(i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
}
for(i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%d ", f[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
這個程序的過程如下：
- 首先先讀入一個整數
n，代表要求解的范圍; - 然后循環
n次，每一次通過f[i] = f[i & (i - 1)] + 1計算得到f[i]的值，也就是數字的二進制表示 1 的個數; - 最后輸出 1 到
n中每個數字二進制表示中 1 的個數。
針對這個解法，程序的時間復雜度是 O(n)。
