定義
定義作用在兩個非負整數 \(a, b\) 上的運算 \(\otimes\) 為 \(a\otimes b=\operatorname{mex}_{0\leq i< a, 0\leq j<b}\{(a\otimes j)\oplus (i\otimes b)\oplus (i\otimes j) \}\)，其中 \(\oplus\) 為按位異或操作，也稱為 Nim和，\(\otimes\) 即為 Nim積。
基本性質
與整數的乘法和加法類似，Nim積 和 Nim和 滿足交換律，結合律和分配律，即：
- \(a\otimes b=b\otimes a\)
- \((a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)\)
- \((a\oplus b)\otimes c=a\otimes c\oplus b\otimes c\)
同時，\(0\) 和 \(1\) 分別是 Nim積 的零元和單位元，即：
- \(0\otimes a=a\otimes 0=0\)
- \(1\otimes a=a\otimes 1=a\)
由於 Nim積 與整數乘法如此高的相似性，許多由整數乘法和加法實現的算法，均可以用 Nim積 和 Nim和 來代替整數乘法和加法，如高斯消元等。
計算方式
經過數學家們的努力，人們得到了 Nim積 的兩條重要規律：
- 設 \(k\) 為滿足 \(2^{2^k}> a\) 的非負整數，則 \(a\otimes 2^{2^{k}}=a\cdot 2^{2^{k}}\)
- \(2^{2^{k}}\otimes 2^{2^{k}}=\frac{3}{2}\cdot 2^{2^{k}}\)
其中形如 \(2^{2^k}\) 的數被稱為費馬數。
有了這兩條規律，結合上述的基本性質，我們可以得到一個單次 \(O(\log^2 n)\) 復雜度的分治算法：
- 若 \(\min(a, b)\leq 1\)，返回 \(a\cdot b\)。
- 若 \(\max(a, b)< 2^8\)，且曾經計算過 \(a\otimes b\)，則返回記憶的值。（很強的常數優化）
- 否則設 \(k\) 為滿足 \(2^{2^k}>\max(a, b)\) 的最小非負整數，\(a_0, b_0\) 為 \(a, b\) 較低的 \(2^{2^{k-1}}\) 位，\(a_{1}, b_{1}\) 為 \(a, b\) 較高的 \(2^{2^{k-1}}\) 位（即 \(2^{2^{k-1}}>a_0, b_0, a_1, b_1\)），則：
\[\begin{aligned}a\otimes b&= a_0\otimes b_0\oplus 2^{2^{k-1}}\otimes (a_{1}\otimes b_{0}\oplus a_0\otimes b_1)\oplus (2^{2^{k-1}}\oplus2^{2^{k-1}-1})\otimes a_1\otimes b_1\\&=a_0\otimes b_0\oplus 2^{2^{k-1}}\cdot ((a_0\oplus a_1)\otimes (b_0\oplus b_1)\oplus a_0\otimes b_0)\oplus 2^{2^{k-1}-1}\otimes a_1\otimes b_1\end{aligned} \]
實現代碼如下：
ull nimProd(ull x, ull y, int p = 32) {
if (x <= 1 || y <= 1) return x * y;
if (p < 8 && rem[x][y]) return rem[x][y];
ull a = x >> p, b = ((1ull << p) - 1) & x, c = y >> p, d = ((1ull << p) - 1) & y;
ull bd = nimProd(b, d, p >> 1), ac = nimProd(nimProd(a, c, p >> 1), 1ull << p >> 1, p >> 1), ans;
ans = ((nimProd(a ^ b, c ^ d, p >> 1) ^ bd) << p) ^ ac ^ bd;
if (p < 8) rem[x][y] = rem[y][x] = ans;
return ans;
}
Nim積 的另一個重要性質為：\(a^{2^{2^k}-1}\equiv 1 \bmod 2^{2^k}\)
具體證明較為繁瑣，珂以類比整數乘法運算中的費馬小定理理解。