關於opengl中的三維矩陣平移代碼，矩陣旋轉代碼，推導過程理解 OpenGL計算機圖形學的一些必要矩陣運算知識 glTranslatef（x,y,z）glRotatef(angle,x,y,z)函數詳解

 

 

原文作者：aircraft

原文鏈接：https://www.cnblogs.com/DOMLX/p/12166896.html

 

 

為什么引入齊次坐標的變換矩陣可以表示平移呢？ - Yu Mao的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213為什么引入齊次坐標的變換矩陣可以表示平移呢？ - Yu Mao的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

在opengl里面涉及到了許多的計算機圖形學的知識，當然也涉及到了許多矩陣運算類的知識，基本都是在線性代數里面學過的。

 

就比如opengl里面的平移函數glTranslatef（x,y,z），

其作用就是將你繪點坐標的原點在當前原點的基礎上平移一個(x,y,z)向量。

就是讓當前點與一個平移矩陣相乘來求得最終矩陣，來進行平移

 

那么就要先從矩陣乘法開始

 一.矩陣乘法：

若要把矩陣與矩陣相乘，我們要計算行與列的"點積"……這是什么意思？我們來看個例子：

求 第一行 和 第一列 的答案：

 

 

 

 

"點積" 是把 對稱的元素相乘，然后把結果加起來：

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我們把第一個元素相配（1 和 7），然后相乘。第二個元素（2 和 9） 和第三個元素（3 和 11）也一樣，然后把結果加起來。

想多看一個例子？這是第一行與第二列：

 

 

 

 

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

第二行 和 第一列也同樣做：

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

第二行 和 第二列：

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

我們得到：

 

 

 

 

二.矩陣的線性變換以及glTranslatef(x,y,z)函數詳解

　　對於opengl的glTranslatef(x,y,z)函數就是依靠線性變換來進行平移操作的，

其作用就是將你繪點坐標的原點在當前原點的基礎上平移一個(x,y,z)向量。

就是讓當前點與一個平移矩陣相乘來求得最終矩陣，來進行平移

 

任意線性變換都可以用矩陣表示為易於計算的一致形式，並且多個變換也可以很容易地通過矩陣的相乘連接在一起^。

線性變換不是唯一可以用矩陣表示的變換。R維的仿射變換與透視投影都可以用齊次坐標表示為RP維（即n+1 維的真實投影空間）的線性變換。因此，在三維計算機圖形學中大量使用着 4x4 的矩陣變換。

　　在opengl中就經常用到仿射變換的形式。

　　仿射變換：為了表示仿射變換，需要使用齊次坐標，即用三向量 (x,y, 1) 表示二向量，對於高維來說也是如此。按照這種方法，就可以用矩陣乘法表示變換。規定：x' =x+tx;y' =y+ty。在矩陣中增加一列與一行，除右下角的元素為 1 外其它部分填充為 0，通過這種方法，所有的線性變換都可以轉換為仿射變換。通過這種方法，使用與前面一樣的矩陣乘積可以將各種變換無縫地集成到一起。當使用仿射變換時，其次坐標向量w從來不變，這樣可以把它當作為 1。　

　　在矩陣的初等變換中，矩陣的左乘代表着行變換，TA=B。 
矩陣的右乘相當於列變換， AT=C。

 

　　當三維坐標發生旋轉、平移時，就需要考慮到矩陣是左乘還是右乘。 
設有旋轉矩陣R，平移矩陣T， 坐標矩陣A。

-若是繞着靜態的世界坐標系旋轉，有RA，即左乘旋轉矩陣 
- 若是繞着動態的自身坐標系旋轉，有A’R’， 即右乘旋轉矩陣

 

這個意思就是 我們先glTranslatef(x,y,z)移動后旋轉的話，那么就是物體先移動 然后繞着自身旋轉也是繞自身坐標系旋轉。先旋轉 在移動 那么就是繞世界坐標系旋轉了

　　好接下來介紹一下矩陣平移

 

舉個二維點移動的例子：

設某點向x方向移動 dx, y方向移動 dy ,[x,y]為變換前坐標， [X,Y]為變換后坐標。

 

則 X = x+dx;  Y = y+dy;

 

然后其中的矩陣運算過程是：我們先將（x,y）點坐標轉化為其次坐標（x,y,1）這是在計算機圖形學中經常用到的（不知道為什么要轉換為齊次坐標后面會講）

那么就可以得到：

 

 

 

                            [ 1    0    0 ]

 

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    1    0 ] ; 

 

                            [ dx  dy  1 ]

 

這個時候X = x+dx;  Y = y + dy； 是不是就實現了坐標的移動？？？

hhhh    沒看懂的話把上面的矩陣乘法在看一次 動動手，寫兩筆就出來的東西不要一直想

 

那么在舉個三維點移動的例子：

同樣的 先（x,y，z）點坐標轉化為其次坐標（x,y,z,1） 然后變換后的（X，Y，Z）不就是等於（x,y,z,1）乘以下圖的變換矩陣嗎？？？

 

 

 

動動手用矩陣乘法得出：X = x+dx;  Y = y + dy；Z = z + dz;    不就移動好了嗎？？？？

 

需要特別注意的是在opengl中的矩陣采用列優先存儲，矩陣表示如下

 

 

 

 

那么剛才為什么要轉化齊次坐標？？

我們可以看這篇博客：其次坐標的理解

我摘抄主要的部分在下面了：

“齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換

 

對於一個向量v以及基oabc，可以找到一組坐標(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c          （1）

 而對於一個點p，則可以找到一組坐標（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c            （2），

 

從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在坐標系中表示一個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於坐標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

 

(1)(3)是坐標系下表達一個向量和點的不同表達方式。這里可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外的信息。如果我寫出一個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！

    我們現在把（1）（3）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),這里(a,b,c,o)是坐標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的坐標。這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達：3D向量的第4個代數分量是0，而3D點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標表示。

 

這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。下面是如何在普通坐標(Ordinary Coordinate)和齊次坐標(Homogeneous Coordinate)之間進行轉換：

(1)從普通坐標轉換成齊次坐標時

   如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);

   如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)

(2)從齊次坐標轉換成普通坐標時   

   如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);

   如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)

 

以上是通過齊次坐標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移T、旋轉R、縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換只對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.

 

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次坐標用於仿射變換非常方便。

 

此外，對於一個普通坐標的點P=(Px, Py, Pz)，有對應的一族齊次坐標(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等於零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一個點從普通坐標變成齊次坐標，給x,y,z乘上同一個非零數w，然后增加第4個分量w；如果把一個齊次坐標轉換成普通坐標，把前三個坐標同時除以第4個坐標，然后去掉第4個分量。

 

 為什么引入齊次坐標可以表示平移？

 

首先我們用一個矢量來表示空間中一個點：
如果我們要將其平移，平移的矢量為：
那么正常的做法就是：

如果不引入齊次坐標，單純采用3X3矩陣乘法來實現平移
你想做的就是找到一個矩陣，使得

然后你就會發現你永遠也找不到這樣的矩陣

所以我們需要新引入一個維度，原來
那么我們可以找到一個4X4的矩陣來實現平移




現在，就有：

 

三.矩陣實現旋轉以及glRotatef(angle,x,y,z)函數詳解

　　函數原型：glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

該函數用來設置opengl中繪制實體的自轉方式，即物體如何旋轉

參數說明：

angle：旋轉的角度，單位為度；

x,y,z表示繞着那個軸旋轉，如果取值都為0，則表示默認的繞x軸逆時針旋轉。

x,y為0，z不為0時，表示繞z軸旋轉；x,z為0，y不為0時，表示繞y軸旋轉；y,z為0，x不為0，表示繞x軸旋轉。

旋轉的逆順時針是通過x，y，z值得正負來確定的：取值為正時，表示逆時針旋轉；取值為負時，表示順時針旋轉。

例：glRotatef(30,0,-1,0)；

表示繞y軸順時針方向旋轉30度。

關於逆時針與順時針，可用右手定則：

即手握住某個坐標軸，大拇指指向某軸的正方向，其余四個手指的彎曲方向即為繞某軸旋轉的逆時針方向；反之為順時針方向。

 

 

 好，看完了函數  我們接下來理解一下矩陣的旋轉 當然也包括圖形的旋轉。。。。

 

二維極坐標系 情況如下：

 

二維情況的旋轉c++代碼 :

//將空間點繞X軸旋轉
//輸入參數 y z為空間點原始y z坐標
//thetax為空間點繞X軸旋轉多少度，角度制范圍在-180到180
//outy outz為旋轉后的結果坐標
void codeRotateByX(double y, double z, double thetax, double& outy, double& outz)
{
    double y1 = y;//將變量拷貝一次，保證&y == &y這種情況下也能計算正確
    double z1 = z;
    double rx = thetax * CV_PI / 180;
    outy = cos(rx) * y1 - sin(rx) * z1;
    outz = cos(rx) * z1 + sin(rx) * y1;
}

 

 

 

上面是二維的情況，那么我直接想象這是三維的 z軸指向屏幕外，可以上面不就是在三維空間  繞Z軸旋轉的情況嗎 也就是在XOY面移動  就只改變了x,y坐標 

 

 

於是可得下面的轉換方程

 

（式一）

 

寫成矩陣的形式就是（不理解看 第一步的矩陣乘法知識 在不會敲爆你的狗頭！！！）

 

 

求得旋轉矩陣為

 

 

由於這里使用齊次坐標，所以還需加上一維，最終變成如下形式

 

 

這樣就得到了三維空間中繞Z軸旋轉的 旋轉矩陣式

 

對於繞X軸旋轉的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換后得到

(式二)

對應的旋轉矩陣為

繞X軸旋轉矩陣

 

 

對於繞Y軸旋轉的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程為

對應的變換矩陣為

繞Y軸旋轉矩陣

 

 

四.如何繞任意軸旋轉以及怎么用glRotatef(angle,x,y,z)繞任意軸旋轉

　

繞通過原點的任意旋轉軸的旋轉是：
    glRotatef(theta, vx, vy, vx)
其中vx，vy，vz用與定義通過坐標原點的旋轉軸的方向，theta用於指定旋轉角度。
如果旋轉軸不在原點，可以先用glTranslatef(tx, ty, tz)將旋轉軸平移到原點，調用上述函數旋轉完成后再平移回原來的地方：glTranslatef(-tx, -ty, -tz)

 

至於為什么呢 已經有大佬的博客寫過整個推導過程 直接推薦給你們：

 

繞任意軸旋轉

 

博客地址是：https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/10/2627458.html

 

當然為了大家方便看 我直接摘抄主要過來如下：

 

 

繞任意軸旋轉的情況比較復雜，主要分為兩種情況，一種是平行於坐標軸的，一種是不平行於坐標軸的，對於平行於坐標軸的，我們首先將旋轉軸平移至與坐標軸重合，然后進行旋轉，最后再平移回去。

 

• 將旋轉軸平移至與坐標軸重合，對應平移操作
• 旋轉，對應操作
• 步驟1的逆過程，對應操作

 

整個過程就是

 

 

對於不平行於坐標軸的，可按如下方法處理。（該方法實際上涵蓋了上面的情況）

 

1. 將旋轉軸平移至原點
2. 將旋轉軸旋轉至YOZ平面
3. 將旋轉軸旋轉至於Z軸重合
4. 繞Z軸旋轉θ度
5. 執行步驟3的逆過程
6. 執行步驟2的逆過程
7. 執行步驟1的逆過程

 

假設用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)來表示旋轉軸，θ表示旋轉角度。為了方便推導，暫時使用右手系並使用列向量，待得出矩陣后轉置一下即可，上面步驟對應的流程圖如下。

 

 

步驟1是一個平移操作，將v1v2平移至原點，對應的矩陣為

 

 

步驟2是一個旋轉操作，將p(p = v2 -v1)旋轉至XOZ平面，步驟3也是一個旋轉操作，將p旋轉至與Z軸重合，這兩個操作對應的圖如下。

 

 

做點p在平面YOZ上的投影點q。再過q做Z軸垂線，則r是p繞X軸旋轉所得，且旋轉角度為α，且

 

,   

 

於是旋轉矩陣為

 

 

現在將r繞Y軸旋轉至與Z軸重合，旋轉的角度為-beta（方向為順時針），且

 

,    

 

於是得到旋轉矩陣為

 

 

最后是繞Z軸旋轉，對應的矩陣如下

 

 

如果旋轉軸是過原點的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中間五個矩陣連乘起來，再轉置一下，得到下面的繞任意軸旋轉的矩陣（這里要注意自己的opengl中是列向量還是行向量 需不要轉置這個問題  列向量就不需要轉置這一步了）

 

 

即

 

 

 

void RotateArbitraryAxis(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* axis, float theta)
{
    D3DXVec3Normalize(axis, axis);
    float u = axis->x;
    float v = axis->y;
    float w = axis->z;

    pOut->m[0][0] = cosf(theta) + (u * u) * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[0][1] = u * v * (1 - cosf(theta)) + w * sinf(theta);
    pOut->m[0][2] = u * w * (1 - cosf(theta)) - v * sinf(theta);
    pOut->m[0][3] = 0;

    pOut->m[1][0] = u * v * (1 - cosf(theta)) - w * sinf(theta);
    pOut->m[1][1] = cosf(theta) + v * v * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[1][2] = w * v * (1 - cosf(theta)) + u * sinf(theta);
    pOut->m[1][3] = 0;

    pOut->m[2][0] = u * w * (1 - cosf(theta)) + v * sinf(theta);
    pOut->m[2][1] = v * w * (1 - cosf(theta)) - u * sinf(theta);
    pOut->m[2][2] = cosf(theta) + w * w * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[2][3] = 0;

    pOut->m[3][0] = 0;
    pOut->m[3][1] = 0;
    pOut->m[3][2] = 0;
    pOut->m[3][3] = 1;

 

 

 

 

 

如果旋轉軸是不過原點的，那么第一步和最后一步就不能省略，將所有七個矩陣連乘起來，得到如下變換矩陣

 

 

對應如下這個超長的矩陣，在這里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1)，且是單位向量，a, b, c分別表示(a1, b1, c1)

 

 

 

void RotateArbitraryLine(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* v1, D3DXVECTOR3* v2, float theta)
{
    float a = v1->x;
    float b = v1->y;
    float c = v1->z;

    D3DXVECTOR3 p = *v2 - *v1;
    D3DXVec3Normalize(&p, &p);
    float u = p.x;
    float v = p.y;
    float w = p.z;

    float uu = u * u;
    float uv = u * v;
    float uw = u * w;
    float vv = v * v;
    float vw = v * w;
    float ww = w * w;
    float au = a * u;
    float av = a * v;
    float aw = a * w;
    float bu = b * u;
    float bv = b * v;
    float bw = b * w;
    float cu = c * u;
    float cv = c * v;
    float cw = c * w;

    float costheta = cosf(theta);
    float sintheta = sinf(theta);

    pOut->m[0][0] = uu + (vv + ww) * costheta;
    pOut->m[0][1] = uv * (1 - costheta) + w * sintheta;
    pOut->m[0][2] = uw * (1 - costheta) - v * sintheta;
    pOut->m[0][3] = 0;

    pOut->m[1][0] = uv * (1 - costheta) - w * sintheta;
    pOut->m[1][1] = vv + (uu + ww) * costheta;
    pOut->m[1][2] = vw * (1 - costheta) + u * sintheta;
    pOut->m[1][3] = 0;

    pOut->m[2][0] = uw * (1 - costheta) + v * sintheta;
    pOut->m[2][1] = vw * (1 - costheta) - u * sintheta;
    pOut->m[2][2] = ww + (uu + vv) * costheta;
    pOut->m[2][3] = 0;

    pOut->m[3][0] = (a * (vv + ww) - u * (bv + cw)) * (1 - costheta) + (bw - cv) * sintheta;
    pOut->m[3][1] = (b * (uu + ww) - v * (au + cw)) * (1 - costheta) + (cu - aw) * sintheta;
    pOut->m[3][2] = (c * (uu + vv) - w * (au + bv)) * (1 - costheta) + (av - bu) * sintheta;
    pOut->m[3][3] = 1;
}

 

 上面代碼如果不太會用的話可以用這篇博客的  我覺得寫得還不錯：

https://www.cnblogs.com/singlex/p/3DPointRotate.html

 

代碼為：

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;
#define CV_PI 3.1415926


//定義返回結構體
struct Point3f
{
    Point3f(double _x, double _y, double _z)
    {
        x = _x;
        y = _y;
        z = _z;
    }
    double x;
    double y;
    double z;
};

//點繞任意向量旋轉，右手系
//輸入參數old_x，old_y，old_z為旋轉前空間點的坐標
//vx，vy，vz為旋轉軸向量
//theta為旋轉角度角度制，范圍在-180到180
//返回值為旋轉后坐標點
Point3f RotateByVector(double old_x, double old_y, double old_z, double vx, double vy, double vz, double theta)
{
    double r = theta * CV_PI / 180;
    double c = cos(r);
    double s = sin(r);
    double new_x = (vx*vx*(1 - c) + c) * old_x + (vx*vy*(1 - c) - vz * s) * old_y + (vx*vz*(1 - c) + vy * s) * old_z;
    double new_y = (vy*vx*(1 - c) + vz * s) * old_x + (vy*vy*(1 - c) + c) * old_y + (vy*vz*(1 - c) - vx * s) * old_z;
    double new_z = (vx*vz*(1 - c) - vy * s) * old_x + (vy*vz*(1 - c) + vx * s) * old_y + (vz*vz*(1 - c) + c) * old_z;
    return Point3f(new_x, new_y, new_z);
}



int main()
{
    
    Point3f A = RotateByVector(0, 2, 0, 1, 0, 0, 270);
    cout << A.y << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

 

五.結合OpenGL來進行

 

• 假如此時我們要讓自己的opengl圖形原點中心旋轉：

　　那么直接調用  glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z) 即可  不斷旋轉的話 就直接把angle在其他循環函數中不斷加一對360取余數就行了

 

• 假如此時我們要讓自己的opengl圖形在（x,y,z）位置繞自身中心旋轉：

　　那么直接調用glTranslatef（x,y,z）先將物體移動，然后在調用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)

 

 

• 假如此時我們要讓自己的opengl圖形在（x,y,z）位置繞世界坐標系旋轉：

　　那么就是先旋轉在移動，先調用 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)，然后在移動到位置 glTranslatef（x,y,z）這也是先移動在旋轉  和先旋轉在移動的區別，一個繞自身中心旋轉，一個繞世界坐標系旋轉

　　此時的 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)函數中的 x,y,z 就是一個軸向量了   繞哪個軸旋轉的意思      x = 1，y = 0; z = 0;那么就是繞X軸旋轉 其他同理  即手握住某個坐標軸，大拇指指向某軸的正方向，其余四個手指的彎曲方向即為繞某軸旋轉的逆時針方向；反之為順時針方向。

 

• 　　假如此時我們要在opengl中繞任意軸旋轉，那么跟上面一樣，也是先旋轉 在移動 此時 glRotatef(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z)函數 中的x,y,z就是你要繞軸旋轉的旋轉軸，然后你要在哪里去繞這個軸旋轉就在旋轉完畢之后就調用glTranslatef（x,y,z）移動到那個位置上就完事了  此時不在原點的話就先glTranslatef（-x,-y,-z）移動回原點 在旋轉 然后在移動回去glTranslatef（x,y,z）

 

 

 

 

 

參考博客：https://blog.csdn.net/zbq_tt5/article/details/90046527

 　　　　  https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

 　　　　  https://www.zhihu.com/question/26655998/answer/43847213

　　　　   https://blog.csdn.net/yangmeng900816/article/details/46816007　　

　　　　   https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/08/2609005.html

 

 

 

 

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