計算機圖形學里包含很多的旋轉(Rotation)、位移(Translate)、切變(Shear)和拉伸（Scale）操作來達到形變的目的，這些操作都可以很簡單的通過轉換矩陣（Transfromation Matrix）來達到。基礎見此鏈接。需要注意切邊指一邊變動，而其他邊不改變的操作。所有轉換需要注意的是基的改變是以原點為中心的，因此圍繞某個點旋轉需要先將原點放在旋轉點上，旋轉再還原，即類似\(T(c)RT(-c)\)的操作。另外要注意的是矩陣操作是從右往左的順序。
矩陣分解
之前我們提到過對稱矩陣的特征值分解可以表示為\(RSR^T\)的形式，其中R代表了一種旋轉，S代表了一種拉伸操作。另外一種簡單方法則是列向量的線性變換，以列向量的方向為新的底邊/側邊方向，列向量的長度為拉伸長度倍率。對於非對稱矩陣而言可以使用SVD分解的操作，即\(A=USV^T\),之前提到過兩側的正交奇異向量矩陣分別為旋轉操作。需要注意的是如果要維持S為正值，則兩側的矩陣既可能是旋轉也可能是反轉（reflection）。我們可以簡單的通過檢查行列式來進行檢測（+1是旋轉,-1是反轉），這部分也可以參考此鏈接
矩陣旋轉
進行旋轉操作時，有被稱為Paeth Decomposition of Rotations的方法將旋轉操作分為三次連續的切變操作，具體見鏈接。這么做的好處是不需要將圖形的頂點進行變換然后重新做圖，而是基於原圖的基礎上直接進行幾何變換，將一行或一列像素同時變換再一一遍歷即可。
三維旋轉圍繞軸\(a\)進行旋轉的時候，可以取軸\(a\)的單位方向向量\(w\)，構造與其垂直的平面\(uv\)並構成\(uvw\)的基，得到對應正交矩陣\(A\)。接下來進行矩陣變換\(ARA^{-1}\)，先通過\(A^{-1}\)將\(xyz\)坐標系切換至\(uvw\)坐標系，接着在\(R\)內固定第三列\(w\)值，最后通過\(A\)還原到\(xyz\)坐標系。具體如下，並運用到了正交矩陣\(A^{-1}=A^T\)的特性。
法向量轉換
在矩陣變換時，平面的切線\(t\)經過變換\(M\)后\(Mt\)依然是矩陣的切線，但平面的法向量經過變換后（Mn）則不一定，我們需要一個法向量轉換矩陣\(N\)，使得\(Nn\)依然為轉換后平面的法向量。從數學上我們需要轉換前\(n^Tt=0\)並且轉換后\((Nn)^T(Mt)=0\)，見下圖。
因為\(n^Tt=n^TM^{-1}Mt=(n^TM^{-1})(Mt)=0\)，我們可以知道一個解為\((Nn)^T=n^TN^T=(n^TM^{-1})\)即\(N=(M^{-1})^T\)。因為逆矩陣可以通過cofactor來進行計算，經過轉換可以得到以下公式
齊次坐標
為了將平移操作利用矩陣乘法而不是加法進行運算，可以引入第四維度的齊次坐標，單獨記錄位移量，見下圖。引入的原因可以參考此鏈接，另外在下一章的透視中會有第四維度值代表距離的額外效果。
另外我們規定額外維度值為\(1\)的時候為標准空間，可以參考齊次坐標的介紹，類似於隱式函數中取0，1是為了乘除的單位。在這里我們可以觀察到在齊次坐標下任意轉換矩陣\(A\)最后一行為\([0,0,0,1]\)，根據矩陣行列點乘的乘法原則，因為\(A^{-1}A=I\)且\(I\)的最后一行也為\([0,0,0,1]\)，我們知道\(A^{-1}\)的最后一行也必須為\([0,0,0,1]\)，否則最后I的計算結果最后一行會錯誤。從GAMES101中的額外講解而言，最后一維為0可以看做不受平移影響的向量，最后一維為1的可以看做受到平移影響的點，這樣可以得到以下的轉換方式，注意點和點相加在進行w divide后可以視作計算中點。包含平移操作的矩陣變換我們也稱為仿射變換(Affine Transformation)。
坐標系變換
在進行矩陣轉換的時候，我們可以按照點的轉換或者坐標系的轉換來進行不同的理解，見下圖。注意這里可以參考3Blue1Brown中線性變換“基的變換”和“點的坐標”本身是一體的有着相同的思想。本質是全局空間只有一個，只是用不同的坐標系語言來形容同一個點。這個理解方法在游戲等地方經常用到，例如賽車游戲可以以賽車的位置為原點構成坐標系並移動坐標系，或者我們將賽車固定在原點變動整個場景在賽車坐標系的位置。這個思想在前文相似矩陣或矩陣分解時已經反復提及，具體也可以參考此鏈接。
我們這里以一個2D場景作為例子，見下圖。
通常來講，如果以基\(uvw\)構成一個轉換矩陣，其代表將\((uvw)\)坐標系下的坐標轉換至標准基坐標系，但原點不變。如下圖所示，利用\(uv\)構成的轉換矩陣轉換了坐標系，再進行最后的\(e\)至\(o\)的位移。這里不先位移的原因是一開始的單位是以\(uv\)坐標系來的，位移的計算相對復雜，實際上也可以先位移。對於相反的方向來看(即標准坐標系轉換至\(uv\)坐標系)，我們先位移再變基，因為位移時還在標准坐標系內。
對於以上這樣的坐標系轉換可以有如下的標准公式，二維去掉w列即可。
