解決一個回溯問題，實際上就是一個決策樹的遍歷過程。你只需要思考 3 個問題：
1、路徑：也就是已經做出的選擇。
2、選擇列表：也就是你當前可以做的選擇。
3、結束條件：也就是到達決策樹底層，無法再做選擇的條件。
如果你不理解這三個詞語的解釋，沒關系，我們后面會用「全排列」和「N 皇后問題」這兩個經典的回溯算法問題來幫你理解這些詞語是什么意思，現在你先留着印象。
代碼方面，回溯算法的框架：
result = [] def backtrack(路徑, 選擇列表): if 滿足結束條件: result.add(路徑) return for 選擇 in 選擇列表: 做選擇 backtrack(路徑, 選擇列表) 撤銷選擇
其核心就是 for 循環里面的遞歸，在遞歸調用之前「做選擇」，在遞歸調用之后「撤銷選擇」，特別簡單。
什么叫做選擇和撤銷選擇呢，這個框架的底層原理是什么呢？下面我們就通過「全排列」這個問題來解開之前的疑惑，詳細探究一下其中的奧妙！
一、全排列問題
我們在高中的時候就做過排列組合的數學題，我們也知道 n 個不重復的數，全排列共有 n! 個。
PS：為了簡單清晰起見，我們這次討論的全排列問題不包含重復的數字。
那么我們當時是怎么窮舉全排列的呢？比方說給三個數 [1,2,3]，你肯定不會無規律地亂窮舉，一般是這樣：
先固定第一位為 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位變成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能變化第一位，變成 2，然后再窮舉后兩位……
其實這就是回溯算法，我們高中無師自通就會用，或者有的同學直接畫出如下這棵回溯樹：
只要從根遍歷這棵樹，記錄路徑上的數字，其實就是所有的全排列。我們不妨把這棵樹稱為回溯算法的「決策樹」。
為啥說這是決策樹呢，因為你在每個節點上其實都在做決策。比如說你站在下圖的紅色節點上：
你現在就在做決策，可以選擇 1 那條樹枝，也可以選擇 3 那條樹枝。為啥只能在 1 和 3 之中選擇呢？因為 2 這個樹枝在你身后，這個選擇你之前做過了，而全排列是不允許重復使用數字的。
現在可以解答開頭的幾個名詞：[2] 就是「路徑」，記錄你已經做過的選擇；[1,3] 就是「選擇列表」，表示你當前可以做出的選擇；「結束條件」就是遍歷到樹的底層，在這里就是選擇列表為空的時候。
如果明白了這幾個名詞，可以把「路徑」和「選擇」列表作為決策樹上每個節點的屬性，比如下圖列出了幾個節點的屬性：
我們定義的 backtrack 函數其實就像一個指針，在這棵樹上游走，同時要正確維護每個節點的屬性，每當走到樹的底層，其「路徑」就是一個全排列。
再進一步，如何遍歷一棵樹？這個應該不難吧。回憶一下之前「學習數據結構的框架思維」寫過，各種搜索問題其實都是樹的遍歷問題，而多叉樹的遍歷框架就是這樣：
void traverse(TreeNode root) { for (TreeNode child : root.childern) // 前序遍歷需要的操作 traverse(child); // 后序遍歷需要的操作 }
而所謂的前序遍歷和后序遍歷，他們只是兩個很有用的時間點，我給你畫張圖你就明白了：
前序遍歷的代碼在進入某一個節點之前的那個時間點執行，后序遍歷代碼在離開某個節點之后的那個時間點執行。
回想我們剛才說的，「路徑」和「選擇」是每個節點的屬性，函數在樹上游走要正確維護節點的屬性，那么就要在這兩個特殊時間點搞點動作：
現在，你是否理解了回溯算法的這段核心框架？
for 選擇 in 選擇列表: # 做選擇 將該選擇從選擇列表移除 路徑.add(選擇) backtrack(路徑, 選擇列表) # 撤銷選擇 路徑.remove(選擇) 將該選擇再加入選擇列表
我們只要在遞歸之前做出選擇，在遞歸之后撤銷剛才的選擇，就能正確得到每個節點的選擇列表和路徑。
下面，直接看全排列代碼：
List<List<Integer>> res = new LinkedList<>(); /* 主函數，輸入一組不重復的數字，返回它們的全排列 */ List<List<Integer>> permute(int[] nums) { // 記錄「路徑」 LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>(); backtrack(nums, track); return res; } // 路徑：記錄在 track 中 // 選擇列表：nums 中不存在於 track 的那些元素 // 結束條件：nums 中的元素全都在 track 中出現 void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) { // 觸發結束條件 if (track.size() == nums.length) { res.add(new LinkedList(track)); return; } for (int i = 0; i < nums.length; i++) { // 排除不合法的選擇 if (track.contains(nums[i])) continue; // 做選擇 track.add(nums[i]); // 進入下一層決策樹 backtrack(nums, track); // 取消選擇 track.removeLast(); } }
我們這里稍微做了些變通，沒有顯式記錄「選擇列表」，而是通過 nums 和 track 推導出當前的選擇列表：
至此，我們就通過全排列問題詳解了回溯算法的底層原理。當然，這個算法解決全排列不是很高效，應為對鏈表使用 contains 方法需要 O(N) 的時間復雜度。有更好的方法通過交換元素達到目的，但是難理解一些，這里就不寫了，有興趣可以自行搜索一下。
但是必須說明的是，不管怎么優化，都符合回溯框架，而且時間復雜度都不可能低於 O(N!)，因為窮舉整棵決策樹是無法避免的。這也是回溯算法的一個特點，不像動態規划存在重疊子問題可以優化，回溯算法就是純暴力窮舉，復雜度一般都很高。
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong-2/
來源：力扣（LeetCode）