全排列算法思想

參考於：【STL】next_permutation的原理和使用

給定一個數列，如何得到它的全排列？

例如1 2 3，它的全排列是123，132，213，231，312，321。

全排列的關鍵在於，給定某一數列，能從該數列推出“下一個”數列。

那么如何找“下一個”數列呢？

 

找“下一個”數列的算法思路描述如下：

1、從后往前找兩個相鄰元素，前一個位置記為i，后一個記為j，並且滿足s[i] < s[j]

2、從后往前找另一個位置k，若滿足s[i] < s[k]，則將s[i]與s[k]交換，並將j之后（包括j）的所有元素顛倒排序，即得“下一個”數列。

 

先試着自己按照這個算法思路去模擬一下算法過程，看能不能悟出這個算法為什么是對的？如果還是不明白這個算法為什么是對的，再繼續往下看。

 

舉個例子，6 2 5 4 3 1，觀察一下，下一個數列是6 3 1 2 4 5，回憶一下觀察的過程，你是先從后往前找的對不對？你在找什么？

 

其實你在從后往前找，比較相鄰兩個數字，如果前一個數字比后一個數字大或相等，就繼續往前找，直到找到前一個數字比后一個數字小，我們將前一個數字的位置記為i，后一個數字的位置記為j，此時應該滿足s[i]<s[j]。這個例子中i = 1，j = 2。

 

可以看出從j開始的數列都是非升序排列的，因為剛剛在找的過程中，前一個數字都是比下一個數字大或相等。

 

要知道，非升序排列的數列不可能有“下一個”數列，即非升序排列的數列是“最大的”。那么從j開始的數列必定不存在“下一個”數列；另外一點，我們需要考慮i之前（不包括i）的數列嗎？比如例子中的6，不需要！因為從i開始的數列必定存在“下一個”數列，因為它不是非升序排列的，非升序排列的數列必定存在“下一個”數列。所以結論是，我們只考慮從從i開始的數列找“下一個”數列。

 

從j開始的數列不可能有“下一個”數列，那么“下一個”數列的i位置放的值不能是原數，而應該從后面的數找，找比原數大的，然后這個數要盡量小。那么如何找到這個最小的數呢？因為從j開始的數列是非升序，所以從后往前找，找到比原數大的就行了。這個位置，我們記為k，例子中這個最小的數是3，即k=4。

 

找到k之后，交換i,k位置的值（一定可以找到這樣的k，因為j位置就滿足了）。交換之后，從j開始的數列依然是非升序排列。這個很明顯，就不多解釋了。

 

因為從j開始的數列是非升序排列，逆序一下，得到非降序排列，非降序排列是“最小的”。所以交換之后，從j開始，逆序排序一下，即得到“下一個”排列。

 

下面自己實現的源代碼（原理同STL中的next_permutation）

bool nextPermutation(int s[], int first, int last)    //last最后一個元素的下一個位置 
{
    if (last-first <= 1)    //保證至少2個元素
        return false;
    
    int i = last-2, j = last-1;
    
    while (1)
    {
        if (s[i] < s[j])    //只要存在這樣的對，下一個排列就必定存在 
        {
            int k = last;
            
            while (s[i] >= s[--k]);    
            
            swap(s[i], s[k]);
            
            reverse(s+j, s+last);
            
            return true;
        }
        if (i == first)        //找到第一個元素都找不到，說明該數組是降序排列的，下一個排列不存在 
        {
            reverse(s+first, s+last);
            return false;
        }
        i--, j--;
    }
}

 

ps.理解源代碼之后就可以知道為什么降序排列的數組，用STL中的next_permutation之后變成升序排列

 

最后再補充一個不規范的遞歸版本，所謂不規范，就是排列的順序與STL中的next_permutation不一樣。

void nextPermutationRecursive(int s[], int n, int first, int last)    //last是最后一個元素的下一個位置 
{
    if (last-first == 1)    //只含一個元素
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            cout << s[i];
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i = first; i < last; ++i)
        {
            swap(s[first], s[i]);
            
            nextPermutationRecursive(s, n, first+1, last);
            
            swap(s[first], s[i]);
        }
    }    
}