和與差角公式推導

差角的余弦公式推導

差角的余弦公式是三角恆等變換的一系列公式的基礎，推導出它，就為接下來的推導鋪平了道路。這里使用向量，而不是普通的幾何方法。以下為推導過程。

設在平面直角坐標系$xOy$中，有角$\alpha , \beta$，其始邊均與$Ox$重合。
設$\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta),|\theta|=<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>$
$\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R},\alpha=\beta+\theta+2k\pi$。
所以對於任意的$\alpha$和$\beta$，都有$\alpha-\beta=2k\pi+\theta,k\in\mathbb{Z}$。
所以

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi+\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb{Z} \]

所以

\[\begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} \]

即

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]

和角的余弦公式推導

可以根據$C_{(\alpha-\beta)}$，得到$C_{(\alpha+\beta)}$（根據誘導公式$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$和$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$得到）。以下為推導過程。

根據$C_{(\alpha-\beta)}$，易得 $$ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} $$

總結一下，和與差的余弦公式可以寫成這樣：

\[C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]

和與差的正弦公式推導

根據誘導公式$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$，即可進行轉化。

\[\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta] \\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta \\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\ &=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]

總結一下，可以寫成：

\[S_{(\alpha\pm\beta)}:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \]

和與差的正切公式推導

根據商數關系，即$\tan\alpha=\frac{\alpha}{\beta}$，再利用之前推導的公式，就可以推導了。

\[\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \\ &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ \end{align} \]

所以

\[T_{(\alpha\pm\beta)}:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

倍角公式推導

在本文中，倍角特指二倍角，其他的$n$倍角中的$n$不能省略。

其實很簡單，根據前面的和角的公式，把$2\alpha$用$\alpha+\alpha$代入即可。

\[\begin{align} \sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ \tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} \\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha} \\ \end{align} \]

特別的，倍角的余弦公式還可以轉化為僅用一個函數名表示：

\[\begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-1+\cos^{2} \alpha \\ &=2\cos^{2} \alpha-1 \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-2\sin^{2} \alpha \\ \end{align} \]

總結

這些公式可以用一個表格概括：

三角函數	$\alpha\pm\beta$	$2\alpha$
$\sin$	$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$	$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos$	$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$	$\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha$
$\tan$	$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$	$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}$

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三角函數	\(\alpha\pm\beta\)	\(2\alpha\)
\(\sin\)	\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)	\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos\)	\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)	\(\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha\)
\(\tan\)	\(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)	\(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\)