算法君：小白同學，給你出道算法題，看你小子算法能力有沒有長進。
算法小白：最近一直在研究算法，刷了很多算法題，正好活動活動大腦，來來來，趕快出題！
算法君：聽好了，題目是：求一個字符串中最長的回文字符串。
算法小白：這個算法好像很簡單，就是有一個概念不太明白，啥叫“回文字符串”。
算法君：哈哈，你說的很簡單，一定是題目的字數很少的意思。
算法小白：哦，又被老大猜中了。還是先給我講一下什么是回文字符串吧！
算法君：回文字符串嗎！首先是一個字符串（廢話），然后，核心就是回文。“回”嗎，就是來來回回的意思。其實就是正向和反向遍歷字符串中的每一個字符，然后嘛，如果遍歷的結果都一樣，就是回文字符串。例如，有一個字符串abcba，無論正向遍歷，還是反向遍歷，結果都是abcba，如果還不清楚，可以看下圖。
算法小白：太好了，我終於知道什么叫回文字符串了，現在可以做這道題了。只要正向和反向分別遍歷一遍字符串，然后比較一下結果，如果兩次遍歷的結果相同，就是回文字符串，哈哈哈，對嗎？老大。
算法君：着什么急，你看清題目了嗎？不是讓你判斷是否為回文字符串，是要在一個字符串中尋找最長回文字符串，例如，akbubk是一個字符串，這里邊有很多回文字符串，其實單個字母就是一個回文字符串，還有就是bub、kbubk，很顯然，最長的回文字符串就是kbubk。
算法小白：懂了，懂了，題目還要一個條件，就是要找到所有回文字符串中最長的一個。
算法君：真懂了嗎？ 好吧，說說你怎么設計這個算法。
算法小白：我只用了0.01秒，就想到如何設計了，當然是得到字符串中的所有子串，然后找到所有的回文字符串，最后，當然是對這些回文字符串按長度排序，並找到最大的回文字符串了。哈哈哈，我聰明嗎！！！
算法君：Are you crazy？（此時的算法君內心一定是有一萬匹草泥馬跑過，氣得都飆英文了），這么做當然沒錯，但.....，效率太低了。這要是字符串長點，是要去租用超級計算機運行算法程序嗎？
算法小白：不好意思啊，我只想到了這種算法，反正能實現就行唄，管它效率怎樣呢！
算法君：設計算法可不光是實現就行，要注重效率、效率、還是效率，重要的事情說三遍。這才能真正體現出算法之美，否則，直接用最笨的方法誰都會。
算法小白：那么老大有什么更好的實現嗎？
算法君：當然，我作為老大，自然是肚子里有貨了，先給你講一種效率較高的算法。
算法君：要優化一個算法，首先要知道原來的算法哪里效率低了。就拿前面給出的字符串akbubk來說。u、bub和kbubk都是回文字符串，我們前面說了，判斷回文字符串就是要分別正向和反向遍歷一遍字符串，然后比較遍歷結果，如果結果相同，就是回文字符串。對於單個字符，直接就是回文字符串，對於bub來說，按常規的判斷方法，需要正向循環3次（得到正向字符串），反向循環3次（得到反向字符串）。一共6次才能判斷該字符串是否為回文字符串（不過正向可以省略了，因為就用字符串本身就可以了），而對於kbubk來說，需要遍歷10次才可以。
算法君：這是按常規的做法。但是，我們仔細觀察，bub和u的關系，u是包含在bub中的，而且u肯定是回文字符串，所以以u為軸，只要判斷該字符串的首字符與尾字符是否相等即可。也就是說，這樣一來，就只需要比較一次（首字符和尾字符進行比較）就可以了，效率大大提升。
算法小白：好像是有點明白了。
算法君：別急別急，我還沒說完呢！如果感覺bub和u的關系太簡單，可以再看一下bub和kbubk的關系。bub是包含在kbubk中的，如果按常規的做法，bub正反遍歷兩次判斷是否為回文字符串，而kbubk同樣需要遍歷兩次，但對於kbubk來說，遍歷的這兩次，是包含bub的兩次遍歷的，也就是說，這里重復遍歷了。這就是我們應該優化的地方：避免重復遍歷字符串。
算法小白：真是醍醐灌頂啊，那么如何避免重復遍歷字符串呢？
算法君：當然是保存歷史了，我們是怎么知道秦皇漢武、唐宗宋祖的，不就是通過歷史書嗎？咱們又沒見過這幾位老哥，對不！
算法小白：保存歷史？讓我來猜一猜，是不是將已經確認的回文字符串保存起來呢，如果下次再遇到這些已經確認的回文字符串，就不需要再進行遍歷了，直接取結果就行了！
算法君：算你小子聰明一回，沒錯，是要將已經確認的回文字符串保存起來，但並不是保存回文字符串本身。而是要保存字符串是否為回文的結果。還拿kbubk為例，我們可以將kbubk看成3部分，首字符k是一部分，尾字符k是一部分，中間的子字符串bub是一部分，如下圖所示。
算法君：對於這個特例來說，bub是回文字符串。而尋找akbubk中最長回文字符串的過程中，肯定是從長度為1的子字符串開始搜索，然后是長度為2的字符串，以此類推，所以bub一定比kbubk先搜索到，所以需要將bub是回文字符串的結果保存起來，如果要判斷kbubk是否為回文字符串，只需要經過如下2步就可以了：
1. 判斷首尾兩個字符是否相同
2. 判斷夾在首尾字符中間的子字符串是否為回文字符串
算法君：如果這兩步的結果都是yes，那么這個字符串就是回文字符串，將該模型泛化，如下圖所示。
算法小白：這下徹底明白了，不過應該如何保存歷史呢？設計算法和實現算法還是有一定差別的，這就是理論派和實踐派的差距，中間差了一個特斯拉的距離。
算法君：哈哈，理論與實踐是有差別的，但好像也沒那么大。其實理論與實踐很多時候是相輔相成的。
算法小白：快快，給我講講到底如何保存歷史，給我一架從理論到實踐的梯子吧！
算法君：梯子！沒有，我這有一壺涼水，澆下去就灌頂了！
算法小白：別逗了，趕快說說！
算法君：要想確定如何保存歷史記錄，首先要確定如何獲取這些數據，然后再根據獲取的方式確定具體的數據結構。我們期望知道字符串中任意的子串是否是回文字符串，這個子串的第一個字符在原字符串中的索引是i，最后一個字符在原字符串中的索引是j。所以我們期望有一個函數is_palindrome_string，通過將i和j作為參數傳入該函數，如果i和j確定的字符串是回文，返回true，否則返回false。
算法小白：老大的意思是說將i和j作為查詢歷史記錄的key嗎？
算法君：沒錯，這次終於說對了一回。下面就看is_palindrome_string函數如何實現了！
算法小白：我想想啊，那么如何實現這個is_palindrome_string函數呢？通過key搜索是否為回文的歷史記錄，也就是搜索value，在Python中字典可以實現這個功能。用字典可以嗎？
算法君：字典算是一種實現，你想想用字典具體應該如何實現呢？
算法小白：這個我知道，Python我已經很熟悉了。可以將i和j作為一個列表，然后作為字典的key，不不不，該用元組，Python中是不支持將列表作為字典的key的。
例如：history_record = {(1,1):True, (1,3):False}
算法小白：然后通過元組(i,j)查詢歷史，例如，要想知道索引從1到3的子串是否為回文字符串，只需要搜索history_record即可，代碼如下：
history_record[(1,3)]
算法君：沒錯，這算是一種存儲歷史的方法，不過搜索字典仍然需要時間，盡管時間不是線性的。想想還有沒有更快的定位歷史記錄的方法呢？
算法小白：快速定位？..... 這個，比字典還快，難道是用魔法嗎？ 哈哈哈！這個還真一時想不出。
算法君：其實在數據結構中，已經清楚地闡述了最快定位的數據結構，這就是數組，由於數組是在內存中的一塊連續空間，所以可以根據偏移量瞬間定位到特定的位置。
算法小白：嗯，數組我當然知道，不過如何用數組來保存回文字符串的歷史呢？
算法君：前面提到的is_palindrome_string函數有兩個參數i和j。i和j是字符串中某一個字符的索引，從0開始，取值范圍都是0 <= i,j < n（這里假設字符串的長度是n），其實這也符合二維數組的索引取值規則。假設有一個n*n的正方形二維數組P（每個元素初始值都是0）。如果從i到j的字符串是回文字符串，那么就將P[i,j]設為1，如果要知道從i到j的字符串是否為回文字符串，也只需要查詢P[i,j]即可。
算法君：舉個具體的例子，有一個字符串acxxcd，要求該字符串的最大回文字符串，可以創建如下圖的6*6的二維數組，初始化為0。
然后將長度為1的字符串標記為回文字符串（主對角線上），如P[0,0],P[1,1]等。
接下來將長度為2 的字符串是回文的做一下標記，也就是兩個字符相等的字符串，這里只有一個，那就是xx，也就是P[2,3]。如下圖所示。
在字符串acxxcd中，並沒有長度為3的回文字符串，所以直接搜索長度為4的回文字符串，如果搜索長度為4的字符串，按着前面的描述，先要判斷首尾字符是否相等，如果相等，再判斷夾在中間的字符串是否為回文字符串，夾在中間的字符串的長度肯定是2，所以可以直接在這個二維數組上定位。例如，搜索到cxxc，首尾字符都是c，中間的xx在二維數組中的坐標是P[2,3]，這個位置剛剛在前面設置為1，所以xx是回文字符串，從而判定cxxc是回文字符串。而cxxc在整個字符串中首尾字符的位置是（1,4)，所以需要將P[1,4]設置為1，如下圖所示。
繼續掃描長度為5的回文字符串（不存在），然后是長度為6的回文字符串（不存在），所以這個唯一的長度為4的回文字符串就是acxxcd的最長回文字符串。
算法君：這種算法還有一個名字：動態規划法
算法小白：哈哈，還可以這么做。又學了一招！！老大就是老大！
算法君：不過這種存儲方案也有缺點，就是比較浪費內存空間，因為需要額外申請n*n的數組空間。另外，你能說出這個算法的時間復雜度和空間復雜度嗎？
算法小白：復雜度？我想想，所謂復雜度就是值隨着算法輸入數據的多少，時間和空間的變化關系吧。如是線性變化的，那么時間復雜度就是O(n)。
算法君：是的，可以這么理解。那么這個算法的復雜度是多少呢？
算法小白：由於該算法需要申請n*n的數組，所以空間復雜度應該是O(n^2），對於每一個字符串，都需要從長度為1的回文字符串開始搜索，需要雙重循環，所以時間復雜度也是O(n^2）。
算法君：嗯，這回說得沒錯，那么還有什么更好的算法可以降低空間復雜度嗎？例如，將空間復雜度降為O(1)，也就是不需要申請額外的內存空間。
算法小白：我現在已經用腦過度了，這個要回去好好考慮下。感謝老大耐心講解。
算法君：好吧，回去多想想還有沒有更好的算法。下面給出一個具體的算法實現（Python語言）。
#動態規划法求最長回文字符串的完整代碼 class MaxPalindromeString: def __init__(self): self.start_index = None self.array_len = None def get_longest_palindrome(self,s): if s == None: return size = len(s) if size < 1: return self.start_index = 0 self.array_len = 1 # 用於保存歷史記錄（size * size) history_record = [([0] * size) for i in range(size)] # 初始化長度為1的回文字符串信息 i= 0 while i< size: history_record[i][i] = 1 i += 1 # 初始化長度為2的回文字符串信息 i = 0 while i < size - 1: if s[i] == s[i+1]: history_record[i][i+1] = 1 self.start_index = i self.array_len = 2 i += 1 # 查找從長度為3開始的回文字符串 p_len = 3 while p_len <= size: i = 0 while i < size-p_len + 1: j = i + p_len-1 if s[i] == s[j] and history_record[i+1][j-1] == 1: history_record[i][j] = 1 self.start_index = i self.array_len = p_len i += 1 p_len += 1 s = 'abcdefgfedxyz' s1 = 'akbubk' p = MaxPalindromeString() p.get_longest_palindrome(s1) if p.start_index != -1 and p.array_len != -1: print('最長回文字符串：',s1[p.start_index:p.start_index + p.array_len]) else: print('查找失敗')
算法君：如果想知道這些算法的具體實現細節，可以掃描下面的二維碼，並關注“極客起源”公眾號，然后輸入229893，即可獲得相關資源。除此之外，還有更多精彩內容等着你哦！
