遞歸樹分析

遞歸的思想就是，將大問題分解為小問題來求解，然后再將小問題分解為小小問題。這樣一層一層地分解，直到問題的數據規模被分解得足夠小，不用繼續遞歸分解為止。

 

如果我們把這個一層一層的分解過程畫成圖，它其實就是一棵樹。我們給這棵樹起一個名字，叫作遞歸樹。我這里畫了一棵斐波那契數列的遞歸樹，你可以看看。節點里的數字表示數據的規模，一個節點的求解可以分解為左右子節點兩個問題的求解。

 

舉個例子歸並排序，就是將數據規模一分為二

 

 

分析斐波那契

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

 

 

分析全排列---“如何把 n 個數據的所有排列都找出來”

1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1

遞推公式

假設數組中存儲的是1，2， 3...n。
        
f(1,2,...n) = {最后一位是1, f(n-1)} + {最后一位是2, f(n-1)} +...+{最后一位是n, f(n-1)}。

代碼實現

// 調用方式：
// int[]a = a={1, 2, 3, 4}; printPermutations(a, 4, 4);
// k表示要處理的子數組的數據個數
public void printPermutations(int[] data, int n, int k) {
  if (k == 1) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      System.out.print(data[i] + " ");
    }
    System.out.println();
  }

  for (int i = 0; i < k; ++i) {
    int tmp = data[i];
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;

    printPermutations(data, n, k - 1);

    tmp = data[i];
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;
  }
}

、

 

參考王爭老師《數據結構與算法》