求遞歸算法的時間復雜度：遞歸樹
遞歸算法時間復雜度的一個遞歸方程：
在引入遞歸樹之前可以考慮一個例子：
T(n) = 2T(n/2) + n2;
迭代2次可以得：
T(n) = n2 + 2(2T(n/4) + (n/2)2)
還可以繼續迭代，將其完全展開可得：
T(n) = n2 + 2((n/2)2 + 2((n/22)2 + 2((n/23) 2 + 2((n/24)2 +…+2((n/2i)2 + 2T(n/2i+1)))…)))) ……(1)
而當n/22 == 1時，迭代結束。
將(1)式小括號展開，可得：
T(n) = n2 + 2(n/2)2 + 22(n/22)2 + … + 2i(n/2i)2 + 2i+1T(n/2i+1)
這恰好是一個樹形結構，由此可引出遞歸樹法。
圖中的(a)(b)(c)(d)分別是遞歸樹生成的第1,2,3,n步。每一節點中都將當前的自由項n2留在其中，而將兩個遞歸項T(n/2) + T(n/2)分別攤給了他的兩個子節點，如此循環。
圖中所有節點之和為:
[1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + … + (1/2)i] n2 = 2n2
可見其復雜度為O(n2)
可以得到遞歸樹的規則為：
(1) 每層的節點為T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在當前的n/m下的值；
(2) 每個節點的分支數為k；
(3)每層的右側標出當前層中所有節點的和。
再舉個例子
T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
其遞歸樹如下圖所示：
可見每層的值都為n，從根到葉節點的最長路徑是：
因為最后遞歸的停止是在(2/3)kn == 1.則
於是
即T(n) = O(nlogn)
總結
利用此方法解遞歸算法復雜度：
f(n) = a*f(n/b) + d(n)
1.當d(n)為常數時：
2.當d(n) = cn 時：
3.當d(n)為其他情況時可用遞歸樹進行分析。
當d(n) = cn^d時：
由第二種情況知，若采用分治法對原算法進行改進，則着重點是采用新的計算方法縮小a值。
照着某個大佬依葫蘆畫瓢的，為了練習寫blog，侵刪