例22 插入排序
問題描述
排序是計算機程序設計中的一種重要操作，它的功能是將一個數據元素或記錄的任意序列，重新排列成一個以關鍵字遞增（或遞減）排列的有序序列。
排序的方法有很多，簡單插入排序就是一種簡單的排序算法。
插入排序的基本思想是順序將一個待排序的記錄按其關鍵字值的大小插入到一個有序的序列中，插入后該序列仍然是有序的。
簡單插入排序是一種最簡單的排序方法。它的排序過程為：先將待排序序列中第1個記錄看成是一個有序的子序列，然后從第2個記錄起依次逐個地插入到這個有序的子序列中去。這很像玩撲克牌時一邊抓牌一邊理牌的過程，抓一張牌就插入到其應有的位置上去。
簡單插入排序的排序過程如下圖1所示。圖1中方括號[ ]中為已排好序的記錄關鍵字的子序列，下划線的關鍵字表示當前插入到有序子序列中的記錄。
圖1 簡單插入排序的排序過程示例
編寫一個程序，用簡單插入排序方法將輸入的N個整數按從小到大的順序排列輸出。
輸入格式
第一行是一個正整數N (1 ≤ N ≤ 100000)，代表數組中元素的個數。
第二行有N個整數，表示待排序的N個數組元素。
輸出格式
一行，有N個整數，這N個整數按從小到大的順序排列輸出。
輸入樣例
10
7 2 5 4 9 6 3 10 1 8
輸出樣例
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（1）編程思路。
將整個數組（n個元素）看成是由有序的（a[0]，…，a[i-1]）和無序的（a[i]，…，a[n-1]）兩個部分組成；初始時i等於1，每趟排序時將無序部分中的第一個元素a[i]插入到有序部分中的恰當位置，共需進行n-1趟，最終使整個數組有序。
排序操作是一個二重循環，外循環控制排序趟數（1~n-1），內循環在有序部分中尋找當前元素a[i]的插入位置。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 50001
int main()
{
int a[N];
int n,i;
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=1; i<n ; i++) // 控制a[1],……, a[n-1]的比較和插入
{
int t=a[i];
int j= i-1;
while (j>=0 && t<a[j]) // 在有序部分中尋找元素a[i]的插入位置
{
a[j+1] = a[j];
j--;
}
a[j+1] = t;
}
for (i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
上面介紹了簡單插入排序，下面再介紹兩種簡單的排序算法：直接選擇排序法和冒泡排序法。
（3）直接選擇排序。
直接選擇排序也是一種比較簡單的排序方法，它的排序過程為：先從待排序的所有記錄中選出關鍵字最小的記錄，把它與原始序列中的第一個記錄交換位置；然后再從去掉了關鍵字最小的記錄的剩余記錄中選出關鍵字最小的記錄，把它與原始序列中第二個記錄交換位置；依次類推，直至所有的記錄成為有序序列。直接選擇排序的排序過程如圖2所示。圖中方括號[ ]中為已排好序的記錄關鍵字的子序列，下划線的關鍵字表示它對應的記錄對需要交換位置。
圖2 直接選擇排序的排序過程示例
編寫一個程序，用直接選擇排序方法將輸入的十個整數按從小到大的順序排列輸出。
1）編程思路。
直接選擇排序的過程是一個二重循環，外循環（i）控制排序趟數（0~n-2），內循環（j）尋找序列a[i]~a[n-1]中的最小者。
尋找一個序列最小值的方法是：先假定序列的第一個元素是最小值，然后將序列的第2個元素至最后一個元素依次和這個最小值比較，如果某個元素比最小值要小，則最小值就是這個元素。
2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 50001
int main()
{
int a[N];
int n,i,j,k;
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=0;i<n-1;i++)
{
k=i;
for (j=i+1;j<n;j++)
if (a[j]<a[k]) k=j;
if (k!=i)
{ int temp=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=temp; }
}
for (i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
（4）冒泡排序。
冒泡排序又稱起泡排序，它也是一種簡單常用的排序方法。其基本思想是通過相鄰記錄之間關鍵字的比較和交換，使關鍵字值較小的記錄逐漸從底部移向頂部，即從下標較大的單元移向下標較小的單元，就像水底下的氣泡一樣逐漸向上冒；而關鍵字較大的記錄就像石塊往下沉一樣，每一趟有一塊“最大”的石頭沉到水底。
冒泡排序的排序過程為：先將第1個記錄和第2個記錄進行比較，若為逆序，則交換之；接着比較第2個記錄和第3個記錄；依次類推，直至第n-1個記錄和第n個記錄進行比較、交換為止，我們稱這樣的過程為一趟冒泡排序。如此經過一趟排序，關鍵字最大的記錄被安置到最后一個記錄的位置上。然后，對前n-1個記錄進行同樣的操作，使具有次大關鍵字的記錄被安置到第n-1個記錄的位置上。重復以上過程，直到沒有記錄需要交換為止。冒泡排序的排序過程如圖3所示。
圖3 冒泡排序的排序過程示例
編寫一個程序，用冒泡排序方法將輸入的十個整數按從小到大的順序排列輸出。
1）編程思路。
冒泡排序的過程是一個二重循環，外循環（i）控制排序趟數（0~n-2），內循環（j）將序列a[0]~a[n-1-i]中每個元素依次與其后面的一個元素比較，如果前面的元素a[j] 比其后的元素a[j+1]大，將二者交換。
2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 50001
int main()
{
int a[N];
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=0;i<n-1;i++)
{
for (j=0;j<n-1-i;j++)
if (a[j]>a[j+1])
{
int temp=a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;
}
}
for (i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
習題22
22-1 Summary
本題選自杭州電子科技大學OJ網站（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4989）。
Problem Description
Small W is playing a summary game. Firstly, He takes N numbers. Secondly he takes out every pair of them and add this two numbers, thus he can get N*(N - 1)/2 new numbers. Thirdly he deletes the repeated number of the new numbers. Finally he gets the sum of the left numbers. Now small W want you to tell him what is the final sum.
Input
Multi test cases, every case occupies two lines, the first line contain n, then second line contain n numbers a1, a2, ……an separated by exact one space. Process to the end of file.
[Technical Specification]
2 <= n <= 100
-1000000000 <= ai <= 1000000000
Output
For each case, output the final sum.
Sample Input
4
1 2 3 4
2
5 5
Sample Output
25
10
Hint
Firstly small W takes any pair of 1 2 3 4 and add them, he will get 3 4 5 5 6 7. Then he deletes the repeated numbers, he will get 3 4 5 6 7, Finally he gets the sum=3+4+5+6+7=25.
（1）編程思路。
本題的題意是：給定N個數，任取其中的兩個數求和，可得到N*（N-1）/2個數，去掉重復的和值后（相同的和值只保留一個），再將它們求總和，問結果是多少？
定義數組b[N*N]保留所求得的和值，每求一個和值t（t=a[i]+a[j]，0≤i,j≤N-1 且i≠j），采用插入排序的思想將t插入到數組b中，使得數組b按升序排列，這樣相同的元素一定連續地在一起，去重非常方便。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 105
int main()
{
int n,i,j,k,t,cnt,a[N],b[N*N];
__int64 sum;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
cnt=0;
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=0;i<n;i++)
{
for (j=i+1;j<n;j++)
{
t=a[i]+a[j];
k=cnt;
while (k>0 && b[k-1]>t) { b[k]=b[k-1]; k--; }
b[k]=t;
cnt++;
}
}
sum = b[0];
for (i=1;i<cnt;i++)
{
if (b[i]==b[i-1]) continue;
sum=sum+b[i];
}
printf("%I64d\n",sum);
}
return 0;
}
22-2 明明的隨機數
本題選自洛谷題庫（https://www.luogu.com.cn/problem/P1059）。
題目描述
明明想在學校中請一些同學一起做一項問卷調查，為了實驗的客觀性，他先用計算機生成了N個1到1000之間的隨機整數 (N≤100)，對於其中重復的數字，只保留一個，把其余相同的數去掉，不同的數對應着不同的學生的學號。然后再把這些數從小到大排序，按照排好的順序去找同學做調查。請你協助明明完成“去重”與“排序”的工作。
輸入格式
輸入有兩行，第1行為1個正整數，表示所生成的隨機數的個數N。
第2行有N個用空格隔開的正整數，為所產生的隨機數。
輸出格式
輸出也是兩行，第1行為1個正整數M，表示不相同的隨機數的個數。
第2行為M個用空格隔開的正整數，為從小到大排好序的不相同的隨機數。
輸入樣例
10
20 40 32 67 40 20 89 300 400 15
輸出樣例
8
15 20 32 40 67 89 300 400
（1）編程思路。
為從小到大排好不相同的隨機數，每讀入一個隨機數x，采用插入排序的思想，將x有序插入到結果數組a中，使得a數組各元素按非降序排列。輸出時，相同的元素（a[i]==a[i-1]）不再重復輸出即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,a[101];
scanf("%d",&n);
scanf("%d",&a[0]);
for (i=1;i<n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
for (j=i-1;j>=0;j--)
{
if (a[j]>x) a[j+1]=a[j];
else break;
}
a[j+1]=x;
}
int cnt=1;
for (i=1;i<n;i++)
if (a[i]!=a[i-1]) cnt++;
printf("%d\n",cnt);
printf("%d",a[0]);
for (i=1;i<n;i++)
if (a[i]!=a[i-1]) printf(" %d",a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
22-3 車廂重組
本題選自洛谷題庫（https://www.luogu.com.cn/problem/P1116）。
題目描述
在一個舊式的火車站旁邊有一座橋，其橋面可以繞河中心的橋墩水平旋轉。一個車站的職工發現橋的長度最多能容納兩節車廂，如果將橋旋轉180度，則可以把相鄰兩節車廂的位置交換，用這種方法可以重新排列車廂的順序。於是他就負責用這座橋將進站的車廂按車廂號從小到大排列。他退休后，火車站決定將這一工作自動化，其中一項重要的工作是編一個程序，輸入初始的車廂順序，計算最少用多少步就能將車廂排序。
輸入格式
共兩行。
第一行是車廂總數N (≤10000)。
第二行是N個不同的數表示初始的車廂順序。
輸出格式
一個整數，最少的旋轉次數。
輸入樣例
4
4 3 2 1
輸出樣例
6
（1）編程思路。
因為是通過把相鄰兩節車廂的位置交換使得車廂有序，典型的冒泡排序方法。采用冒泡排序解決本題即可。在排序過程中每交換一次，進行計數。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int n,a[10000],cnt=0;
scanf("%d",&n);
int i,j;
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=0;i<n-1;i++)
for (j=0;j<n-1-i;j++)
if (a[j]>a[j+1])
{
int t=a[j];
a[j]=a[j+1]; a[j+1]=t;
cnt++;
}
printf("%d\n",cnt);
return 0;
}