例9 生理周期
問題描述
人生來就有三個生理周期，分別為體力、感情和智力周期，它們的周期長度為 23 天、28 天和33 天。每一個周期中有一天是高峰。在高峰這天，人會在相應的方面表現出色。例如，智力周期的高峰，人會思維敏捷，精力容易高度集中。因為三個周期的周長不同，所以通常三個周期的高峰不會落在同一天。對於每個人，我們想知道何時三個高峰落在同一天。
對於每個周期，我們會給出從當前年份的第一天開始，到出現高峰的天數（不一定是第一次高峰出現的時間）。你的任務是給定一個從當年第一天開始數的天數，輸出從給定時間開始（不包括給定時間）下一次三個高峰落在同一天的時間（距給定時間的天數）。例如：給定時間為10，下次出現三個高峰同天的時間是12，則輸出2（注意這里不是3）。
輸入數據
輸入四個整數：p, e, i 和d。 p, e, i 分別表示體力、情感和智力高峰出現的時間（時間從當年的第一天開始計算）。d 是給定的時間，可能小於p, e, 或 i。 所有給定時間是非負的並且小於365, 所求的時間小於等於21252。
輸出要求
從給定時間起，下一次三個高峰同天的時間（距離給定時間的天數）。
輸入樣例
0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
-1 -1 -1 -1
輸出樣例
Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
（1）編程思路1。
假設從當年的第一天開始數，第k 天時三個高峰同時出現。符合問題要求的k必須大於d、小於等於21252（23×28×33），並滿足下列三個條件：
1）(k-p) % 23 == 0
2）(k-e) % 28 == 0
3）(k-i) % 33 == 0
對區間[d+1，21252]中的每個k都進行三個條件的判斷，若同時滿足三個條件，則k就是所求。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int p,e,i,d,caseNo = 0,k;
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)
{
++caseNo;
for(k = d+1;(k-p)%23!=0 || (k-e)%28!=0|| (k-i)%33!=0; k++);
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseNo,k-d);
}
return 0;
}
（3）編程思路2。
思路1中對區間[d+1，21252]中的每個k都進行三個條件的判斷，開銷很大，可以進行優化。
具體優化辦法是：先從區間[d+1，21252]中找到第一個滿足條件1）的體力高峰出現的時間k1，然后從k1、k1+23、k1+2*23、k1+3*23…這些時間中尋找第一個滿足條件2）的情感高峰出現的時間k2，當然它也一定是體力高峰出現的時間；最后在k2、k2+23*28、k1+2*23*28、k1+3*23*28…這些時間中尋找第一個滿足條件3）的時間k3。則k3-d就是所求的答案。
（4）源程序2。
#include <stdio.h>
int main()
{
int p,e,i,d,caseNo = 0,k;
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)
{
++caseNo;
for(k = d+1;(k-p)%23;k++); // 枚舉體力高峰
while ((k-e)%28!=0) k+=23; // 枚舉情感高峰
while ((k-i)%33!=0) k+=23*28; // 找到三高峰
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseNo,k-d);
}
return 0;
}
習題9
9-1 硬幣方案
問題描述
有50枚硬幣，可能包括4種類型：1元、5角、1角和5分。
已知50枚硬幣的總價值為20元，求各種硬幣的數量。
例如：2、34、6、8就是一種方案。而2、33、15、0是另一個可能的方案，顯然方案不唯一。
編寫程序求出類似這樣的不同的方案一共有多少種？
輸入數據
無
輸出要求
所有可能的方案，輸出格式見輸出樣例。
輸入樣例
無輸入
輸出樣例
1: 0 , 38 , 8 , 4
2: 1 , 36 , 7 , 6
3: 2 , 33 , 15 , 0
……
（1）編程思路。
直接對四種類型的硬幣的個數進行窮舉。其中，1元最多20枚、5角最多40枚、1角最多50枚、5分最多50枚。
另外，如果以元為單位，則5角、1角、5分會化成浮點型數據，容易計算出錯。可以將1元、5角、1角、5分變成100分、50分、10分和5分，從而全部采用整型數據處理。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,cnt=0;
for(a=0;a<=20;a++)
for(b=0;b<=40;b++)
for(c=0;c<=50;c++)
for(d=0;d<=50;d++)
{
if(a*100+b*50+c*10+d*5==2000 && a+b+c+d==50)
{
printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);
}
}
return 0;
}
（3）窮舉優化。
上面的程序采用窮舉法求解，比較簡單。但在窮舉結構的設置、窮舉參數的選取等方面存在着改進與優化的空間。
一般來說，在采用窮舉法進行問題求解時，可從兩個方面來優化考慮。
1）建立簡潔的數學模型。
數學模型中變量的數量要盡量少，它們之間相互獨立。這樣問題解的搜索空間的維度就小。反應到程序代碼中，循環嵌套的層次就少。例如，上面的程序中，采用變量a、b、c、d分別表示1元、5角、1角和5分硬幣的枚數，對這4個變量窮舉，循環層次為4層。實際上這4個變量彼此間有兩個條件在約束，或者枚數等於50，或者總價值為20元。因此，可以只窮舉3個變量，另外一個變量通過約束條件求出，從而將循環層次減少為3層。
2）減小搜索的空間。
利用已有的知識，縮小數學模型中各個變量的取值范圍，避免不必要的計算。反應到程序代碼中，循環體被執行的次數就減少。例如，在窮舉時，先考慮1元的枚數a，最多為20枚（即0<=a<=20），再考慮5角的枚數b，若采用總價值不超過20元約束，則其枚數最多為(2000-a*100)/50枚（即0<=b<=(2000-a*100)/50），之后考慮1角的枚數c，其枚數最多為 (2000-a*100-b*50)/10（即0<=c<=(2000-a*100-b*50)/10）。這樣窮舉的循環次數會大大減少。
采用上述思路優化后的源程序如下。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,cnt=0;
for(a=0;a<=20;a++)
for(b=0;b<=(2000-a*100)/50;b++)
for(c=0;c<=(2000-a*100-b*50)/10;c++)
{
d=(2000-a*100-b*50-c*10)/5; // 剩下的用5分硬幣填充
if(a+b+c+d==50)
{
printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);
}
}
return 0;
}
也可以采用總枚數不超過50枚約束。先考慮1元的枚數a，最多為20枚（即0<=a<=20），再考慮5角的枚數b，則其枚數最多為(50-a)枚（即0<=b<=(50-a），之后考慮1角的枚數c，其枚數最多為 (50-a-b)枚（即0<=c<=50-a-b）。采用這種思路優化后的源程序如下。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,d,cnt=0;
for(a=0;a<=20;a++)
for(b=0;b<=50-a;b++)
for(c=0;c<=50-a-b;c++)
{
d=50-a-b-c; // 剩下的用5分硬幣填充
if(100*a+50*b+10*c+5*d==2000)
{
printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);
}
}
return 0;
}
9-2 和積三角形
問題描述
把和為正整數s的8個互不相等的正整數填入8數字三角形（如圖1所示）中，若三角形三邊上的數字之和相等且三邊上的數字之積也相等，該三角形稱為和積三角形。
圖1 數字三角形
例如，和為45的和積三角形如圖2所示。
圖2 s=45的和積三角形
編寫一個程序，輸出和為s的和積三角形。
輸入數據
一個正整數S（36≤S≤300）。
輸出要求
所有和為S的和積三角形，要求輸出的方案不重復。如圖2中，8和9交換，或4和3交換，或同時交換9與4、8和3、2和12，所得到的3種方案均視為與圖2給出的方案是同一種方案。
輸入樣例
45
輸出樣例
1：2 , 8 , 9 , 1 , 4 , 3 , 12 , 6 , s1=20, s2=144
說明
對照圖2的數據，注意體會樣例中8個數的輸出順序，另外是s1的值代表各邊上整數的和，s2的值代表各邊上整數的積。
（1）編程思路。
按輸出樣例的說明，設圖1所示的數字三角形的8個數分布如下圖3所示。
因為三角形的兩個腰可以互相交換，為避免重復，不妨約定三角形中數字“下小上大、左小右大”，即 b1<b7、b2<b3且b6<b5。
圖3 三角形分布示意圖
這樣，可以根據約定對b1、b7的值進行循環探索，設置：
b1的取值范圍為1 ~ (s-21)/2； （因除b1、b7外，其他6個數之和至少為21）
b7的取值范圍為b1+1 ~ (s-28)； （因除b7外，其他7個數之和至少為28）
b4的取值范圍為1 ~ (s-28)； （因除b4外，其他7個數之和至少為28）
同理，根據約定b2<b3，b6<b5，可設置：
b2 的取值范圍為1 ~ (s-21)/2； （因除b2、b3外，其他6個數之和至少為21）
b3 的取值范圍為b2+1 ~ (s-28)；
b6 的取值范圍為1 ~ (s-21)/2； （因除b5、b6外，其他6個數之和至少為21）
b5 的取值范圍為b(6)+1 ~ (s-28)；
b8 = s-（b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7）
對所取的8個整數，需要進行以下4道檢測：
1）若b8<=0，則不符合要求；
2）若這8個數出現相同數，則不符合要求；
3）若三邊之和不等，則不符合要求；
4）若三邊之積不等，則不符合要求。
若某8個數通過以上4道檢測，即為一個解，打印輸出，並統計解的個數。
由於需要對8個整數中是否出現相同數進行檢測，因此可以將8個數保存在一個一維數組中，定義一維數組 int b[9]；其中數組元素b[1] ~ b[8]分別對應圖3中的b1 ~ b8。
程序總體可以寫成一個七重循環結構，如下：
for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)
for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)
for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)
for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)
for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)
for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)
for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)
{
根據窮舉的8個數，進行4道檢測，確定是否為一組解；
}
4道檢測中，除檢查8個數中是否出現相同數復雜點外，其他均是簡單計算並判斷即可。
為檢測8個數中是否出現相同的數，可以先設定一個標志 t=0；然后用循環依次將每個數與其后的每個數進行比較，若出現相同，則置t=1並退出循環。
循環執行結束后，若 t==1，則說明8個數中出現了相同的數；若 t保持初始設定值0，則說明8個數中不存在相同的數。算法描述為：
t=0;
for(i=1;i<=7;i++)
for(j=i+1;j<=8;j++)
if(b[i]==b[j])
{
t=1; i=7; break;
}
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];
scanf("%d",&s);
cnt=0;
for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)
for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)
for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)
for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)
for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)
for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)
for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)
{
b[8]= s-(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]);
if(b[8]<=0) continue;
t=0;
for(i=1;i<=7;i++)
for(j=i+1;j<=8;j++)
if(b[i]==b[j])
{ t=1; i=7; break; }
if(t==1) continue;
s1= b[1]+b[2]+b[3]+b[4];
if(b[4]+b[5]+b[6]+b[7]!=s1 || b[1]+b[8]+b[7]!=s1)
continue;
s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];
if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)
continue;
cnt++;
printf("%d : ",cnt);
for(i=1; i<=8; i++)
printf("%d , ",b[i]);
printf(" s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);
}
return 0;
}
（3）窮舉優化思路。
上面的窮舉程序設計雖然可行。但是，這個程序的運行速度太慢。例如將程序中的s=45改成s=89，即計算和為89的8個整數組成的和積三角形，程序運行后，可得到如下所示的結果。
1 : 6 , 14 , 18 , 1 , 9 , 8 , 21 , 12 , s1=39, s2=1512
2 : 8 , 12 , 15 , 1 , 16 , 9 , 10 , 18 , s1=36, s2=1440
3 : 8 , 4 , 27 , 2 , 12 , 3 , 24 , 9 , s1=41, s2=1728
4 : 15 , 9 , 16 , 1 , 12 , 10 , 18 , 8 , s1=41, s2=2160
程序得到以上4個解需等待較長時間。為了提高求解效率，必須對程序進行優化，可以從循環設置入手。具體思路為：
1）增加s+b1+b7+b4是否為3的倍數檢測。
因為三角形三個頂點的元素在計算三邊時各計算了兩次，即s+b1+b7+b4＝3*s1，則在b1、b4、b7循環中增加對s+b1+b7+b4是否能被3整除的檢測。
若（s+b1+b7+b4）%3≠0，則直接continue，繼續新的b1、b4、b7探索，而無需探索后面的b2、b3、b5和b6；
否則，記s1=（s+b1+b7+b4）/3，往下進行探索。
2）精簡循環，把七重循環精簡為五重。
保留根據約定對b1、b7和b4的值進行的循環探索，設置同前。優化對b2、b3、b5和b6的循環探索。可根據約定對b3、b5的值進行探索，設置：
b3的取值范圍為（s1-b1-b4）/2+1 ~ s1-b1-b4； 注： s1=（s+b1+b7+b4）/3
b5的取值范圍為（s1-b4-b7）/2+1 ~ s1-b4-b7；
同時根據各邊之和為s1，計算出b2、b6和b8，即
b2=s1-b1-b4-b3
b6=s1-b4-b5-b7
b8=s1-b1-b7
這樣，還同時精簡了關於b8是否為正的檢測，也精簡了三邊和是否相等的檢測。只需檢測b數組是否存在相同正整數與三邊積是否相同即可。
（4）改進后的源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];
scanf("%d",&s);
cnt=0;
for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)
for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)
for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)
{
if((s+b[1]+b[4]+b[7])%3!=0)
continue;
s1=(s+b[1]+b[4]+b[7])/3;
for(b[3]=(s1-b[1]-b[4])/2+1;b[3]<s1-b[1]-b[4];b[3]++)
for(b[5]=(s1-b[4]-b[7])/2+1;b[5]<s1-b[4]-b[7];b[5]++)
{
b[2]=s1-b[1]-b[4]-b[3];
b[6]=s1-b[4]-b[7]-b[5];
b[8]=s1-b[1]-b[7];
t=0;
for (i=1; i<=7; i++)
for(j=i+1;j<=8;j++)
if(b[i]==b[j])
{ t=1; i=7; break; }
if(t==1) continue;
s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];
if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)
continue;
cnt++;
printf("%d : ",cnt);
for(i=1; i<=8; i++)
printf("%d , ",b[i]);
printf(" s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);
}
}
return 0;
}
運行以上改進窮舉的程序，當s=89時所得解與前相同，但時間大大縮短。
9-3 完美運算式
問題描述
把數字1、2、…、9這9個數字填入以下含加減乘除與乘方的綜合運算式中的9個□中，使得該式成立
□^□+□□÷□□-□□×□=0
要求數字1，2，…、9這9個數字在式中都出現一次且只出現一次。
輸入數據
無
輸出要求
輸出所有可能的填寫方式，輸出格式見輸出樣例。
輸入樣例
無
輸出樣例
1:3 ^ 5 + 87 / 29 - 41 * 6=0
……
（1）編程思路1。
設式中的6個整數從左至右分別為 a、b、x、y、z、c，其中x、y、z為2位整數，范圍為12~98；a、b、c為一位整數，范圍為1~9。
設置a、b、c、x、y、z循環，對窮舉的每一組a、b、c、x、y、z，進行以下檢測：
1）若x不是y的倍數，即 x % y!=0，則返回繼續下一次窮舉。
2）若等式不成立，即a^b+x/y-z*c!=0，則返回繼續下一次窮舉。
3）式中9個數字是否存在相同數字。將式中6個整數共9個數字進行分離，分別賦值給數組元素f[1]~f[9]。連同附加的f[0]=0（為保證9個數字均不為0），共10個數字在二重循環中逐個比較。
若存在相同數字，t=1，不是解，繼續下一次窮舉。
若不存在相同數字，即式中9個數字為1~9不重復，保持標記t=0, 是一組解，輸出所得的完美運算式。並統計解的個數 n 。
（2）源程序1。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,x,y,z;
int i,j,k,t,n,f[10];
n=0;
for(a=1;a<=9;a++)
for(b=1;b<=9;b++)
for(c=1;c<=9;c++)
for(x=12;x<=98;x++)
for(y=12;y<=98;y++)
for(z=12;z<=98;z++)
{
if (x%y!=0) continue;
k=1;
for (i=1;i<=b;i++) // 計算k=a^b
k=a*k;
if(k+x/y-z*c!=0) continue;
f[0]=0;
f[1]=a;f[2]=b;f[3]=c; // 9數字個賦給f數組
f[4]=x/10; f[5]=x%10;
f[6]=y/10; f[7]=y%10;
f[8]=z/10; f[9]=z%10;
t=0;
for(i=0;i<=8;i++)
for(j=i+1;j<=9;j++)
if(f[i]==f[j])
{ t=1; break; } // 檢驗數字是否有重復
if(t==0)
{
n++; // 輸出一個解，用n統計個數
printf("%d:%d ^ %d + %d / %d - %d * %d=0\n",n,a,b,x,y,z,c);
}
}
return 0;
}
（3）編程思路2。
對上面的程序進行優化。
由於要求的綜合運算式為：a^b+x/y-z*c=0，那么，x=(z*c-a^b)*y。因此可設置a、b、c、y、z循環，對窮舉的每一組a、b、c、y、z，計算x。這樣處理，可省略x循環，同時省略x是否能被y整除，省略等式是否成立的檢測。
計算x后，只要檢測x是否為二位數即可。若計算所得x不是二位整數，則返回繼續下一次窮舉。
另外，式中9個數字是否存在相同數字可采用這樣的方法：
定義f數組對6個整數分離出的9個數字的出現次數進行統計，即f[i]的值為式中數字i的個數，初值全賦值為0。統計后，若某一f[i]（i=1~9）不為1，則一定不滿足數字1、2、…、9這九個數字都出現一次且只出現一次，標記t=1，不是解，返回繼續下一次窮舉；若所有f[i]全為1，滿足數字1、2、…、9這九個數字都出現一次且只出現一次，保持標記t=0，是解，輸出所得的完美綜合運算式。
（4）源程序2。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,x,y,z;
int i,k,t,n,f[10];
n=0;
for(a=1;a<=9;a++)
for(b=1;b<=9;b++)
for(c=1;c<=9;c++)
for(y=12;y<=98;y++)
for(z=12;z<=98;z++)
{
k=1;
for (i=1;i<=b;i++)
k=a*k;
x=(z*c-k)*y;
if(x<10 || x>98) continue;
for(i=1;i<=9;i++)
f[i]=0;
f[a]++; f[b]++; f[c]++; // 記錄9個數字各自出現的次數
f[x/10]++; f[x%10]++; f[y/10]++; f[y%10]++;
f[z/10]++; f[z%10]++;
t=0;
for(i=1;i<=9;i++)
if(f[i]!=1)
{ t=1; break; } // 檢驗數字是否有重復
if(t==0)
{
n++;
printf("%d:%d ^ %d + %d / %d - %d * %d=0\n",n,a,b,x,y,z,c);
}
}
return 0;
}