環
環的定義:設R是具有兩種運算的非空集合，如果以下條件成立：
i)R對於加法構成一個交換群
ii)R上的乘法有，對於任意的a, b, c\(\in\)R，有(ab)c = a(bc)
iii)對任意的a, b, c\(\in\)R，有(a+b)c = ac + bc，a(b+c) = ab + ac
則稱R為一個環
換句話說，如果R對於加法運算滿足交換群的定義，對於乘法滿足廣群的定義，並且滿足分配律，則R是一個環。
Notation：
i)如果環的乘法滿足交換律，則稱R為交換環
ii)如果R中有一個元素e = \(1_R\)對於R上的乘法有\(\forall a\in R, a1_R = 1_R a=a\)，則稱R為有單位元環，或者稱為含幺環
iii)如果R中存在兩個不為零的元素a, b對於R上的乘法滿足ab=0，則稱R為有零因子環
iv)如果R同時為一個交換環和一個含幺環，但沒有零因子，則稱R為整環
環的性質
1.對任意的a\(\in\)R，有0a=a0=0
證明.
\(\because\) 0a=(0+0)a=0a+0a
\(\therefore\) 0a=0
同理可得 a0 = 0
2.對任意的a,b\(\in\)R，有(-a)b = a(-b) = -(ab)
證明.
\(\because\) (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
\(\therefore\)(-a)b=a(-b)=-(ab)
3.對任意a,b\(\in\) R，有(-a)(-b)=ab，這實際上就是第二個性質的一個實例
4.對任意的n\(\in\)Z，a,b\(\in\)R，(na)b=a(nb)=n(ab)，即n個a的和乘以b，或者a乘以n個b的和都等於n個ab乘積的和。
5.對任意的\(a_i, b_j\in R\)有
\((\Sigma_{i=1}^n a_i)(\Sigma_{j=1}^m b_j)=\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^m a_i b_j\)
6.設R是一個整環，則R中有消去律成立，即當c$\ne$0，c·a = c·b時，有a=b
理想
定義：設R是一個環，I是R的子環，如果對任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I ，都有 ra\(\in\)I ，則稱 I 是R的左理想，如果對任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I都有ar\(\in\)I，則稱 I 是R的右理想。
如果 I 同時是R的左理想和右理想，則稱 I 是R的理想。
Notation：{0}和R都是R的理想，叫做R的平凡理想。
環R的非空子集 I 是理想的充要條件：
1.對任意的a, b\(\in\)I，都有a-b\(\in\)I
2.對任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I 都有 ra\(\in\)I，ar\(\in\)I
證明.
必要性顯然成立
充分性：
由第一個條件可知 I 是 R 的子群
再由第二個條件可知 I 對乘法是封閉的，並且 I 作為R的子集，對乘法是滿足分配律的，所以 I 是R子環
同時，I 也滿足R理想的條件。
定理：設\(\lbrace A_j\rbrace_{i\in J}\)是R的一族理想，則\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是一個理想
證明.
\(\because A_j\)是理想
\(\therefore \forall a,b\in A_j,a-b\in A_j,\)對於所有的j\(\in\)J
\(\therefore a-b\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
對於任意的r\(\in\)R和任意的\(a\in\bigcap_{j\in J} A_j\)，則有a\(\in A_j\)，j\(\in\)J
因為\(A_j\)是R的理想，所以ra\(\in A_j\)，ar\(\in A_j\)，j\(\in\)J
所以\(ra\in\bigcap_{j\in J}A_j\)，\(ar\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
所以\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是R的理想
生成理想
定義：設X是環R的一個子集，設\(\lbrace A_j\rbrace_{j\in J}\)是環R中包含X的所有理想，則新的理想\(\bigcap_{j\in J}A_j\)稱由X生成的理想，記為(X)。
Notation：
1.X中的元素叫做理想(X)的生成元，如果X={\(a_1,\cdots,a_n\)}，則理想(X)記為(\(a_1,\cdots,a_n\))，稱為有限生成的。
2.如果X={a}，則稱其生成理想(a)叫做主理想
3.環R叫做主理想環，如果R的所有理想都是主理想
定理：設R是環，則主理想(a)={\(ra+ar'+na+\Sigma_{i=1}^mr_ias_i | r,r',r_i,s_i\in R,m\in N, n\in Z\)}
實例：整環Z是主理想環，且I=(a)的表達式為\(I=(a)=\lbrace sa|s\in Z\rbrace\)
推論：設I=(a)是整環Z中的理想，則整數b\(\in\)I 的充要條件是a | b
商環
定理：設R是一個環，I是R的一個理想，則R/I對於加法運算：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I，以及乘法運算：(a+I)(b+I)=(ab)+I構成一個環。
並且當R是一個交換環或者是一個含幺環時，商環R/I也是一個交換環或者含幺環。
證明(非正式).
由商群的定義可知，商環R/I對加法構成一個交換群。
對於乘法：\((a+I)(b+I)=(a+i_1)(b+i_2)=ab+ai_2+i_1b+i_1i_2\)
\(\because\)I是R的一個理想
\(\therefore ai_2\in I, i_1b\in I\)
\(\therefore ai_2+i_1b+i_1i_2\in I\)，即(a+I)(b+I)=(ab)+I
所以可以簡單理解為商群中的陪集上的運算都可以直接對應到環中代表元的運算
所以商群也構成環，稱為商環
環同態分解定理
環同態的定義：環的同態在群的同態的基礎上添加了一個條件：對於G和G'中的乘法，滿足f(a\(\cdot\)b)=f(a)\(\cdot\)f(b)
相應的，群同態中的定理也能夠對應到環同態中
自然映射：設f是環R到環R'的一個同態，則核ker(f)是R的理想，反過來，如果I是R的理想，則映射，\(s:R\to R/I(a\mapsto a+I)\)是核為I的同態。
其證明過程與群的自然同態相似。
同態分解(由一個同態映射構造一個同構映射)：設f是環R到環R'的同態，則存在唯一的R/ker(f)到群f(R)的同構映射\(f':a+ker(f)\mapsto f(a)\)。
同樣的，能夠得到一個映射轉換關系：\(f=i\cdot f'\cdot s\)，其中s是環R到商環R/ker(f)的自然同態，\(i:c\mapsto c\)是f(R)到R'的恆等映射。即：