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我們上一節介紹了環(ring)、域(field)的概念，並給了一些環、域的實例。比如我們知道整數環、方陣環、有理數域、實數域等。我們知道，域是環的一個種。最后，我們講了素域，並講了有限素域的構造。
接着上一節所講，我們繼續。
子環
環的一個非空子集，如果在加法和乘法上依然是個環，那么就稱這個環是原來的環的子環。
我們依舊舉幾個例子，比如：
對於有理數域（當然也是一個環），整數環就是它的一個子環；
對於整數環，所有偶數依然在加法、乘法下構成一個環（因為任何兩個偶數通過加、減、乘得到的還是偶數，對於加、減、乘是封閉的，所以依然是一個環），這個偶數環是整數環的一個子環；
對於n階實數矩陣環，其所有的非對角線上的值全為0的n階矩陣在矩陣加法、矩陣乘法上也構成了原矩陣環的一個子環，很明顯，對於a、b兩個矩陣，如果非對角線上為0，那么無論加法、減法還是乘法，得到的結果非對角線上都為0。
理想
理想(ideal)是一種特殊的子環，在子環的基礎上，理想還要滿足如下條件：
如果B是A的一個理想，那么對於任何a∈A，b∈B，有ab∈B且ba∈B。
其中ab和ba是a,b順序不同的乘法結果（乘法未必可以交換）。
理想要滿足ab∈B和ba∈B。
另外引申兩個概念：如果滿足ab∈B，叫左理想；如果滿足ba∈B，叫右理想。
很明顯，每個環至少有兩個理想：一個理想是單個0元所組成的環，因為任何一個元與0元的乘都為0元；另一個是這個環本身。
既然這兩個理想對於每個環都有，不具有什么研究意義，我們稱之為平凡理想。
只有非平凡的理想對於我們才有研究意義。
我們還是先以整數環舉例，對於整數環，顯然，所有偶數組成的子環是一個理想，因為任何整數和偶數的乘積還是偶數。
我們再去思考實數上的n階矩陣環有沒有非平凡理想：
實際上，假如該矩陣環中有一個理想，這個理想中存在一個秩為m(0<m<n)的方陣M，按照線性代數知識，存在X和Y兩個滿秩方陣，使得
XMY = Im 0mx(n-m)
0(n-m)xm 0(n-m)x(n-m)
I1 0 * Im 0 = I1 0
0 0 0 0 0 0
這里的I是單位方陣。
有了這個方陣，則可以通過行變換、列變換變換到任何只有一個元素不為0的方陣，
再通過加法，可以得到所有的n階方陣。
從而該理想其實包含該環中所有方陣。
於是實數域上的矩陣環是不存在非平凡理想的。不存在非平凡理想的環叫單環。
其實實數域矩陣環是存在非平凡的左理想和右理想的：
比如第一行之外其他行全為0的方陣構成一個左理想，第一列之外其他行全為0的方陣構成一個右理想。
甚至，我們可以深入研究下去，從而可以搞清楚實數域矩陣環的所有的非平凡左理想和非平凡右理想，這里並不展開此問題。
再來看看域的理想：
對於任何一個域，因為域除了0元外，其他元在乘法上構成一個群，所以域的理想如果包含了任何一個非0元，那么必然擴充到整個域。從而，域沒有平凡理想，所以也是單環。
生成元
抽象代數里，我們很多時候研究方法都是采用生成元的方法。
在這里，我們研究環的理想的方法也是采用生成元，上面的分析中其實已經蘊含了這樣的思想。
我們說一個理想是用某幾個元生成的（也就是說這幾個元是該理想的生成元），意思是指包含了這幾個元的最小理想。
我們之前提到所有偶數構成的環是整數環的理想，其實也可以看作是以2或-2為生成元的生成理想。
同理、以3、4、5、6.....各自為生成元，都可以產生整數環的一個非平凡理想。其實，利用數論里的知識也可以證明，整數環的任何非平凡理想都可以用一個元生成。
商環
有了環的理想，我們可以構造一個神奇的東西——商環。
我們先定義一下分划：
A的一個分划是指A的一個非空子集的集合，並且滿足A上所有元素有且只在其中一個非空子集上。
比如{1,2,3,4}分划有：
{{1,2},{3,4}}，
{{1},{2},{3},{4}}，
{{1},{2,3,4}}...
也就是把一個集合“分成任意塊”，分划內的任意一個元素（原集的一個非空子集),我們稱之為類。
我們這樣定義環R對於理想I的商環Q：
商環Q是R的一個分划；
R里任何兩個元x和y，在Q的同一個類里的充要條件是x-y∈I；
商環上定義的加法為：商環里的兩個類A和B，A+B的結果是A上的一個元素a和B上的一個元素b做加法得的a+b所在的類；
商環上定義的乘法為：商環里的兩個類A和B，A+B的結果是A上的一個元素a和B上的一個元素b做乘法所得的ab所在的類。
我們來證明以上加法、乘法定義是合理的，換句話說，加法、乘法的唯一性，用數學語言來說如下：
對於任意Q內的A和B，對於任意a1,a2∈A, b1,b2∈B,存在一個Q內的C和D，使得
a1+b1∈C,
a2+b2∈C,
a1b1∈C,
a2b2∈C.
稍微轉換一下，就是
a1-a2∈I /\ b1-b2∈I -> (a1+b1)-(a2+b2)∈I /\ a1b1 - a2b2 ∈I
證明起來不難，
(a1+b1)-(a2+b2) = (a1-a2)+(b1-b2)
a1-a2和b1-b2都在I里，兩者的和當然也在I里。
我們假設a1-a2=i1, b1-b2=i2
當然，i1和i2都是I里的元，
a1b1 - a2b2 = (a2+i1)(b2+i2) - a2b2
= a2b2 + i1b2 + a2i2 + i1i2 - a2b2
= i1b2 + a2i2 + i1i2
因為I是理想，所以i1b2、a2i2、i1i2都在I里，所以三者的和葉在I里。
得證。
唯一性得證后，加法和乘法的合理性得證。加法、乘法其他性質繼承環R，從而商環的確是一個環。
商環的0元是理想！
我們來看看整數環的商環，我們知道所有的偶數構成的子環是其理想。
那么商環為{{偶數},{奇數}}
四則運算如下：
{偶數} + {偶數} = {偶數} {偶數} - {偶數} = {偶數} {偶數} * {偶數} = {偶數}
{偶數} + {奇數} = {奇數} {偶數} - {奇數} = {奇數} {偶數} * {奇數} = {偶數} {偶數} / {奇數} = {偶數}
{奇數} + {偶數} = {奇數} {奇數} - {偶數} = {奇數} {奇數} * {偶數} = {偶數}
{奇數} + {奇數} = {偶數} {奇數} - {奇數} = {偶數} {奇數} * {奇數} = {奇數} {奇數} / {奇數} = {奇數}
顯然，這個商環其實是一個2元域。
實際上，對於任何質數p,{x|x是p的整數倍}都是整數環的一個理想，所得商環都是一個p階素域。
我們的主題是有限域。那么，我們會想，用整數環的商環可以構造任意階有限域嗎？
實際上不行，比如對於{x|x是4的整數倍}這個理想，
商環如下：
{{x|x=4*a, a是整數}, {x|x=4*a+1, a是整數}, {x|x=4*a+2, a是整數}, {x|x=4*a+3, a是整數}}
其中，{x|x=4*a, a是整數}是0元。
{x|x=4*a+2, a是整數} * {x|x=4*a+2, a是整數} = {x|x=4*a, a是整數}
所有這個商環存在零因子，當然不是域。
看來，我們需要別的方法來構造有限域，這個在之后的章節里講述。