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有限域，顧名思義就是有限的域，我們又稱它為Galois域(Galois Field)。
環
說到域，首先得要講講環(ring)。
環中存在兩種封閉的二元運算——加法和乘法。加法和乘法只是我們的稱呼，以區別兩種運算。環要滿足以下條件：
1.環的所有元在加法上是一個交換群(Abelian Group)（滿足結合律，交換律，存在e元，這里我們稱之為0元，滿足每個元都有唯一的逆元）。
2.環的所有元在乘法上是一個半群(即只要滿足結合律)。
3.加法、乘法滿足左分配律和右分配律。
我來舉幾個例子，比如所有的整數在加法、乘法下就是一個環。
再來個復雜的例子，所有的實數下的n階方陣在矩陣加法和矩陣乘法下也是一個環，0元為n階0方陣。注意，這里的乘法不可交換。
域
人類很早就認識到自然數，在慢慢歷史長河中，加減法、乘法都是很早就產生。涉及到公平性問題，又帶來了除法，於是引入了分數的概念。
但引入了除法之后，我們可以在整數環的基礎上構造有理數域。
我們最常見的域有理數域就是在整數環的基礎上引入除法得到的。
不是所有的環都可以擴展成一個域的，有些環天生不足，比如剛才提到的矩陣環，不僅僅因為矩陣乘法不可交換，而且里面充斥着兩個非0元乘積等於0元的情況。
比如
這樣的元叫零因子，沒有零因子的環叫整環，比如整數環。當然整數環中有一個元素也很特殊，那就是1，1和任何整數的乘積還是那個整數本身，我們可以稱呼環中滿足這個性質的元叫1元。
實際上，我們對於含有1元的交換整環，按照我們構造有理數域的方法都是可以構造成域的，這叫分式域。
但我們構造Galois域的方法其實還是用的其他方法，這個以后再說。
域的所有非0元在乘法下也是一個交換群(Abelian Group)。
域有個重要的性質，就是特征，除0元之外的每個元的加法群周期都相同，這個周期稱之為特征。當然，對於我們的有理數來說來說，這個周期是無窮。如果域的特征不為無窮，而為整數，實際上是可以證明其只能為質數(Prime Number),這里不講如何證明。
域有子域的概念，某個域的其中一部分元在加法、乘法上還是一個域，則這一部分元所成的域為原來域的子域。用平常的例子，我們的有理數域其實是實數域的子域，而實數域則是復數域的子域。實際上，我們的實數域、復數域有無窮多個子域。
比如集合 {x|x=a*√2 + b, a和b是有理數} 在加法、乘法上就是一個域。
每個特征下都有一個獨特的域，使得任何一個同樣特征的域都有一個子域與之同構，則為素域，有理數域就是一個素域。
我們既然考慮有限域，那么針對的是特征為質數的域。
素域
實際上，特征為質數的素域是很容易構造的，假如說特征為p，素域的元素個數則為p，設為0,1...p-1
素域內的加法定義為模p加法，也就是
(a+b)%p
素域內的乘法定義為模p乘法，也就是
(a*b)%p
我們很容易證明這是一個交換環，而且存在1元。
對於除法，
a/b = a*bp-2
這里的乘法和冪用的都是模p乘法。
我們很容易寫一個scheme程序來看一個特征p素域中所有的+-*/運算：
;特征為p的素域的加減乘除 ;加法 (define (addp p a b) (if (>= (+ a b) p) (- (+ a b) p) (+ a b) ) ) ;減法 (define (subp p a b) (addp p a (if (zero? b) 0 (- p b))) ) ;乘法 (define (mulp p a b) (remainder (* a b) p) ) ;求逆 (define (invp p a) (define (pow n a b) (cond ((zero? n) a) ((zero? (remainder n 2)) (pow (quotient n 2) a (mulp p b b))) (else (pow (quotient n 2) (mulp p a b) (mulp p b b))) ) ) (pow (- p 2) 1 a) ) ;除法 (define (divp p a b) (mulp p a (invp p b)) )
zero?這個運算有的scheme未必有，定義如下
(define zero? (lambda (x) (= 0 x)))
對於特征5的素域，我們運算一下所有的加減乘除：
;特征為5的素域 (define p 5) ;湊出所有的有序對 (define (list-all) (define (f x y) (let ((a (car x)) (b (cdr x)) (c (cons x y))) (cond ((> b 0) (f (cons a (- b 1)) c)) ((> a 0) (f (cons (- a 1) (- p 1)) c)) (else c) ) ) ) (f (cons (- p 1) (- p 1)) '()) ) (for-each (lambda (x) (if (zero? (cdr x)) (displayln (format "~a+~a=~a ~a-~a=~a ~a*~a=~a" (car x) (cdr x) (addp p (car x) (cdr x)) (car x) (cdr x) (subp p (car x) (cdr x)) (car x) (cdr x) (mulp p (car x) (cdr x)) )) (displayln (format "~a+~a=~a ~a-~a=~a ~a*~a=~a ~a/~a=~a" (car x) (cdr x) (addp p (car x) (cdr x)) (car x) (cdr x) (subp p (car x) (cdr x)) (car x) (cdr x) (mulp p (car x) (cdr x)) (car x) (cdr x) (divp p (car x) (cdr x)) )) ) ) (list-all) )
運算，得到
0+0=0 0-0=0 0*0=0
0+1=1 0-1=4 0*1=0 0/1=0
0+2=2 0-2=3 0*2=0 0/2=0
0+3=3 0-3=2 0*3=0 0/3=0
0+4=4 0-4=1 0*4=0 0/4=0
1+0=1 1-0=1 1*0=0
1+1=2 1-1=0 1*1=1 1/1=1
1+2=3 1-2=4 1*2=2 1/2=3
1+3=4 1-3=3 1*3=3 1/3=2
1+4=0 1-4=2 1*4=4 1/4=4
2+0=2 2-0=2 2*0=0
2+1=3 2-1=1 2*1=2 2/1=2
2+2=4 2-2=0 2*2=4 2/2=1
2+3=0 2-3=4 2*3=1 2/3=4
2+4=1 2-4=3 2*4=3 2/4=3
3+0=3 3-0=3 3*0=0
3+1=4 3-1=2 3*1=3 3/1=3
3+2=0 3-2=1 3*2=1 3/2=4
3+3=1 3-3=0 3*3=4 3/3=1
3+4=2 3-4=4 3*4=2 3/4=2
4+0=4 4-0=4 4*0=0
4+1=0 4-1=3 4*1=4 4/1=4
4+2=1 4-2=2 4*2=3 4/2=2
4+3=2 4-3=1 4*3=2 4/3=3
4+4=3 4-4=0 4*4=1 4/4=1