——這是一個很重要的定理，雖然在實際判斷二次剩余時不會使用這種方法，但是在證明二次互反律中有核心地位
閱讀之前，你應該知道：二次剩余，勒讓德符號，整除的基本知識，剩余系的概念
我們先看看定理說什么（定理描述和下述運算均在最小絕對值剩余系下）
假設p是一個奇素數，數組A={1，2，....，（p-1)/2}
現在我們想判斷一個數a(模p非0)是否為模p的二次剩余
我們計算Aa={1a,2a,......(p-1)a/2}
在Aa中，如果小於0的個數有奇數個，那么a就不是二次剩余，如果有偶數個，a就是二次剩余（注意是在最小絕對值剩余系下）
想必你看到這里已經有了一些想法
我們用fac(x)表示x的階乘，因為用！顯得太亂了,然后legendre(a,p)表示a對p的勒讓德符號
對Aa求積，注意(p-1)/2個a相乘由歐拉判別條件可知就等於legendre(a,p)
所以我們得到legendre(a,p)*fac((p-1)/2)=Π(Aa) ······················································（1）
我們再考察Aa，你會發現Aa中不可能存在0，不可能存在相等的兩個數，不可能存在互為相反數的兩個數
不存在0很顯然，不存在相等的兩個數也很顯然，我們看看不存在互為相反數的兩個數，反證法
設存在ax=-ay mod p
=> p整除a(x+y)
因為x,y屬於[1,(p-1)/2]
所以x+y屬於[1,p-1]
故p不整除x+y,又p不整除a
因此p不整除a(x+y)，得出矛盾
證畢
既然Aa滿足上述條件，那么Aa的絕對值只能取值1到(p-1)
所以Π(Aa)=fac((p-1)/2)*(-1)^(負數個數）·······························································（2）
由（1），（2）可得
legendre(a,p)=(-1)^(負數個數）
今天先寫到這里，后面我們繼續討論定理的變形和二次互反律的證明。
感謝大家閱讀，我不是數學專業的所以文筆可能較差，想把深奧的數學知識通俗描述，
希望對這些知識感興趣的非專業的朋友們能夠有所收獲。