前置知識
- 階(次數):ep(a):使得ae≡1(mod p)的最小指數e（e≥1),稱為a模p的階（次數）。
- 原根:具有最高次數ep(g)≡p-1(mod p)的數g（g>1）成為模p的原根。
- 原根定理:每個素數都有且恰有φ(p-1)個原根。
- 指標:原根的冪g,g2,g3,g4,......中與a mod p恰好一個同余的數,相應的指數I稱為以g為底的a模p的指標。
- 指標的乘法定理:I(ab)=I(a)+I(b)(mod p-1)
二次剩余
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定義：與一個平方數模p同余的非零數成為模p的二次剩余，不與任何一個平方數模p同余的數稱為模p的非二次剩余。
二次剩余表示為QR，二次非剩余表示為NR。
勒讓德符號：$\left ( \frac{a}{p} \right )$={ 1(a為模p的二次剩余）
-1(a為模p的非二次剩余） }
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定理1：設p是一個奇素數，則恰有 $\frac{p-1}{2}$個模p的二次剩余，且恰有$\frac{p-1}{2}$個模p的二次非剩余。
反證法證明： 根據二次剩余定義：
二次剩余是這樣一些數：12，22，32，......,(p-1)2(mod p)
又∵ (p-b)2=p2+2pb+b2≡b2(mod p)
∴12，22，32，......,$\left ( \frac{p-1}{2} \right )$2與$\left ( \frac{p+1}{2} \right )$2,$\left ( \frac{p+3}{2} \right )$2,$\left ( \frac{p+5}{2} \right )$2,......,(p-1)2（mod p）在數值上相等
設1≤a,b≤ $\frac{p-1}{2}$,且a2≡b2(mod p)，且a≠b
則（a-b)(a+b)≡0(mod p)
但∵2≤a+b≤p-1，2≤a-b≤p-1，a≠b
∴（a-b)(a+b)≡0(mod p)不成立
故12，22，32，......,$\left ( \frac{p-1}{2} \right )$2（mod p）各不相同
又∵1-p有p-1個數
∴恰有 $\frac{p-1}{2}$個模p的二次剩余，且恰有$\frac{p-1}{2}$個模p的二次非剩余。
Q.E.D.
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定理2：設g為模p的原根，g,g2,g3,......,gp-1給出了模p所有的非零剩余。
根據原根定義：g>1
又∵g的偶次冪g2k都可以表示為gk*2
∴g的偶次冪都是平方數且各不相同
又∵個數恰是$\frac{p-1}{2}$個
∴ g的偶次冪表示出了模p的所有二次剩余
又∵gk與g2*k 對應不同
∴g的奇次冪表示模p的所有的二次非剩余
Q.E.D.
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二次剩余乘法法則：QR*QR=QR，NR*QR=NR，NR*NR=NR.
根據定理2可以得出：指標為偶數（mod p)的數是模p的二次剩余，指標為奇數（mod p)的數是模p的二次非剩余。
又∵指標的乘法定理
∴QR*QR=QR，NR*QR=NR，NR*NR=NR.
Q.E.D.
歐拉准則
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a(p-1)/2≡ $\left ( \frac{a}{p} \right )$(mod p)
分類討論：①若a是模p的二次剩余
則a的指標是偶數
a≡g2k(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)≡1k≡1(mod p)
②若a是模p的二次非剩余
則a的指標是奇數
a≡g2k+1(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)+(p-1)/2≡g(p-1)/2(mod p)
∵g是模p的原根
∴g(p-1)/2≡-1（mod p)
Q.E.D.
update：勒讓德雙平方數定理
對於給定的正整數N：
設$D_{1}$=（整除N且滿足d≡1（mod 4）正整數d的個數）
設$D_{2}$=（整除N且滿足d≡3 (mod 4)的正整數d的個數）
則將N正好表示成兩個平方數（順序不同算兩種）的方案數=4（$D_{1}$-$D_{2}$）
參考資料：《數論概論》（Joseph H .silverman著 第三版）