Codeforces 1245 E. Hyakugoku and Ladders

傳送門

顯然這個圖是個 $DAG$ ，那么就可以考慮跑 $dp$ 了

先考慮沒有梯子的情況，首先把每個位置標號，越后面的位置編號越小，終點位置編號為 $1$

那么從終點往起點 $dp$ ，枚舉當前位置搖到的數字，那么有 $f[x]=\frac{\sum_{i=1}^{6}(f[x-i]+1)}{6}$，並且 $f[1]=0$

但是這是在 $x>6$ 的情況下成立的，因為如果 $x<=6$ 那么有可能不走，特殊考慮一下

首先 $f[2]$ ，那么有 $5/6$ 的概率原地不動，$1/6$ 的概率走到終點，即 $f[2]=\frac{5(f[2]+1)}{6}+\frac{f[1]+1}{6}=(\frac{5}{6}+\frac{f[1]+1}{6}) / (1-5/6)$

然后 $f[3]$ 也差不多考慮，$f[3]=\frac{4(f[3]+1)}{6}+\frac{f[1]+1}{6}+\frac{f[2]+1}{6}=(\frac{4}{6}+\frac{f[1]+1}{6}+\frac{f[2]+1}{6}) / (1-4/6)$

發現對於 $x\in [2,6]$ ，$f[x]=\frac{(\sum_{i=1}^{x-1}f[x-i]+1)/6+(7-i)/6}{1-(7-i)/6}$

現在來考慮有梯子的情況，設位置 $x$ 有一個梯子通往位置 $y$ ，那么 $f[x]$ 轉移的時候還要考慮瞬移到 $y$ 再走的情況

差不多的轉移，取個最小值即可，即和 $\sum_{i=1}^{6}(f[y-i]+1)/6$ 取個最小值，對於 $y<=6$ 的情況同樣要特殊處理

看代碼就知道具體怎么做了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int n=10,N=107;
int id[N][N],to[N];
db f[N];
int main()
{
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i&1)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                id[i][j]=++tot;
        else
            for(int j=n;j>=1;j--)
                id[i][j]=++tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a=read();
            if(a) to[id[i][j]]=id[i-a][j];
        }
    // f[2]=(f[2]+1)*5/6 + 1/6
    // f[3]=(f[3]+1)*4/6 + 1/6 + (f[2]+1)/6
    for(int i=2;i<=6;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            f[i]+=(f[i-j]+1.0)/6;
        f[i]+=(7.0-i)/6;
        f[i]/=(1.0-(7.0-i)/6);
    }
    for(int i=7;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=1;j<=6;j++)
            f[i]+=(f[i-j]+1.0)/6;
        if(!to[i]) continue;
        db mi=0; int t=to[i];
        if(t==1) { f[i]=0; continue; }//我這個做法要特判
        for(int j=1;j<=6;j++)
            if(t-j>0) mi+=(f[t-j]+1.0)/6;
        if(t<=6) mi+=(7.0-t)/6,mi/=(1.0-(7.0-t)/6);
        f[i]=min(f[i],mi);
    }
    printf("%.10f\n",f[tot]);
    return 0;
}