簡介
Bounding Box非常重要，在rcnn， fast rcnn, faster rcnn, yolo, r-fcn, ssd，到今年cvpr最新的yolo9000都會用到。
先看圖
對於上圖，綠色的框表示Ground Truth, 紅色的框為Selective Search提取的Region Proposal。那么即便紅色的框被分類器識別為飛機，但是由於紅色的框定位不准(IoU<0.5)，那么這張圖相當於沒有正確的檢測出飛機。 如果我們能對紅色的框進行微調， 使得經過微調后的窗口跟Ground Truth 更接近， 這樣豈不是定位會更准確。 確實，Bounding-box regression 就是用來微調（注意這個字眼--微調）這個窗口的。
1、邊框回歸是什么？
對於窗口一般使用四維向量（x, y, w, h）來表示， 分別表示窗口的中心點坐標和寬高（注意這里是中心點，其實都一樣）。對於圖 2, 紅色的框 P 代表原始的Proposal, 綠色的框 G 代表目標的 Ground Truth， 我們的目標是尋找一種關系使得輸入原始的窗口 P 經過映射得到一個跟真實窗口 G 更接近的回歸窗口G。
邊框回歸的目的既是：給定（Px, Py, Pw, Ph）尋找一種映射f，使得f(Px,Py,Pw,Ph) = (Gx,Gy,Gw,Gh)並且（Gx,Gy,Gw,Gh）約等於f。
做邊框回歸
那么經過何種變換才能從圖 2 中的窗口 P 變為窗口G呢？比較簡單的思路就是：平移加尺度放縮。
第一步：先做平移
其中
第二步：再做尺度縮放
其中
邊框回歸學習的不是最終的G估計值，而是
下一步就是設計算法得四個映射
線性回歸就是給定輸入的特征向量 X, 學習一組參數 W, 使得經過線性回歸后的值跟真實值 Y(Ground Truth)非常接近. 即Y≈WX 。 那么 Bounding-box 中我們的輸入以及輸出分別是什么呢？
輸入：
其實真正的輸入是這個窗口對應的 CNN 特征，也就是 R-CNN 中的 Pool5 feature（特征向量）。(注：訓練階段輸入還包括 Ground Truth， 也就是下邊提到的t∗=(tx,ty,tw,th))
輸出：
這四個值應該是經過 Ground Truth 和 Proposal 計算得到的真正需要的平移量(tx,ty) 和尺度縮放(tw,th) 。
這也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：
目標函數為
是輸入Proposal的特征向量，W*是要學習的參數，d(p)是預測值， 我們要讓預測值跟真實值t∗=(tx,ty,tw,th)差距最小， 得到損失函數為：
所以結果就很明顯了，t*是label而w是權值，fai是輸入，它們來做一個回歸，利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到 w∗。